Теорія категорій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, не залежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти зв'язані морфізмами (стрілками).

Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці[1], а також застосовується в інформатиці[2] та теоретичній фізиці[3][4]. Сучасне викладання алгебраїчної геометрії та гомологічної алгебри базується на теорії категорії. Поняття теорії категорій використовуються в мові функціонального програмування Haskell.

Історія[ред.ред. код]

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій зобов'язана алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднуючу і уніфікуючу роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. визначився зростаючий інтерес до неабелевих категорій, викликаний задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному вивченню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозвязок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

Визначення[ред.ред. код]

Категорія[ред.ред. код]

Категорія складається з класу , елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу , елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:

  1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас ; якщо , то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
  2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу .
  3. У класі заданий частковий закон множення: добуток морфізмів та визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається і належить класу .
  4. Справедливий закон асоціативності: для будь яких морфізмів для яких дані добутки визначені.
  5. У кожному класі визначений такий морфізм , що для ; морфізми називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру[5].

Приклади категорій[ред.ред. код]

Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії, з такою властивістю, називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Комутативні діаграми[ред.ред. код]

Категорія з об'єктами X, Y, Z та морфізмами f, g

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Двоїстість[ред.ред. код]

Для категорії можна визначити двоїсту категорію , у якій:

  • об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
  • морфізми одержуються «обертанням стрілок»:

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

Морфізми[ред.ред. код]

  • Морфізм називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм , що та . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
  • Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом .
  • Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів по композиції.
  • Мономорфізм — це морфізм такий, що для будь-яких з випливає, що .

Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

  • Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких з слідує .
  • Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.

Універсальні об'єкти[ред.ред. код]

Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина , термінальним — множина з одного елементу .
Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.

Добуток і сума об'єктів[ред.ред. код]

добуток
добуток
кодобуток
кодобуток (пряма сума)
  • Добуток об'єктів та — це об'єкт з морфізмами та такими, що для будь-якого об'єкта з морфізмами та існує єдиний морфізм такий, що .

Морфізми та називаються проекціями.

  • Дуально визначається кодобуток (пряма сума): об'єктів і . Відповідні морфізми та називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклади[ред.ред. код]

  • У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання .
  • У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток , а прямий добуток — сума кілець .
  • У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів .

Функтори[ред.ред. код]

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

  • (Коваріантний) функтор ставить у відповідність кожному об'єктові категорії об'єкт категорії і кожному морфізму морфізм так, що
    • і
    • .
  • Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з у , тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Примітки[ред.ред. код]

  1. Хелемский А. Я. Лекції по функціональному аналізу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Чи потрібна фізикам теорія категорій?
  4. Топоси для фізики. {ref-en}
  5. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Література[ред.ред. код]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.

Посилання[ред.ред. код]