Теорія категорій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, не залежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти зв'язані морфізмами (стрілками).

Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці[1], вона також знайшла застосування в інформатиці[2] і в теоретичній фізиці[3][4]. Сучасне викладання алгебраїчної геометрії та гомологічної алгебри базується на теорії категорії. Поняття теорії категорій використовуються в мові функціонального програмування Haskell.

Історія[ред.ред. код]

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням і первинними стимулами розвитку теорія категорій зобов'язана алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднуючу і уніфікуючу роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. визначився зростаючий інтерес до неабелевих категорій, викликаний задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному вивченню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозвязок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

Визначення[ред.ред. код]

Категорія[ред.ред. код]

Категорія \mathcal{C} складається з класу Ob_{\mathcal{C}}, елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу Mor_{\mathcal{C}}, елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:

  1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B); якщо f\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B), то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
  2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B).
  3. У класі Mor_{\mathcal{C}} заданий частковий закон множення: добуток морфізмів f\in \mathrm{Hom}(A,B) і g\in \mathrm{Hom}(C,D) визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, і належить класу \mathrm{Hom}(A,D). Добуток f і g позначається g\circ f.
  4. Справедливий закон асоціативності: h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f для будь яких морфізмів для яких дані добутки визначені.
  5. У кожному класі \mathrm{Hom}(A, A) визначений такий морфізм id_A, що f\circ id_A = id_B\circ f = f для f\in \mathrm{Hom}(A,B); морфізми id_A називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру[5].

Приклади категорій[ред.ред. код]

Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії, з такою властивістю, називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Комутативні діаграми[ред.ред. код]

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Категорія з об'єктами X, Y, Z та морфізмами f, g

Двоїстість[ред.ред. код]

Для категорії \mathcal{C} можна визначити двоїсту категорію \mathcal{C}^{op}, у якій:

  • об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
  • морфізми одержуються «обертанням стрілок»: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий так принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм[ред.ред. код]

Морфізм f\in \mathrm{Hom}(A,B) називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм g \in \mathrm{Hom}(B,A), що g\circ f = id_A та f\circ g = id_B. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Безліч ендоморфізмів \ \mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A, A) є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом \ id_A.

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів \ \mathrm{Aut}(A) по композиції.

Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм[ред.ред. код]

Мономорфізм — це морфізм f\in \mathrm{Hom}(A,B) такий, що для будь-яких g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A) з f\circ g_1 = f\circ g_2 випливає, що \ g_1=g_2. Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X) з g_1\circ f = g_2\circ f слідує \ g_1=g_2.

Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, але не будь-який біморфізм є ізоморфізмом.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно. Будь-який ізоморфізм є мономорфізмом і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Ініціальний і термінальний об'єкти[ред.ред. код]

Ініціальний (початковий, універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо ініціальні об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина \empty, термінальним - множина з одного елементу \{\cdot\}.
Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.

Добуток і сума об'єктів[ред.ред. код]

Добуток об'єктів A і B — це об'єкт A\times B з морфізмами p_1: A\times B\to A і p_2: A\times B \to B такими, що для будь-якого об'єкта C з морфізмами f_1: C\to A і f_2: C\to B існує єдиний морфізм g: C \to A\times B такий, що g \circ p_1 =f_1, \quad g \circ p_2 =f_2. Морфізми p_1: A\times B\to A і p_2: A\times B \to B називаються проекціями.

Дуально визначається пряма сума або кодобуток A+B об'єктів A і B. Відповідні морфізми \imath_A: A\to A+B і \imath_B: B \to A+B називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклади[ред.ред. код]

  • У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин A\times B, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання A \sqcup B.
  • У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток A\otimes B, а прямий добуток - сума кілець A\oplus B.
  • У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні - це сума векторних просторів A\oplus B.

Функтори[ред.ред. код]

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

(Коваріантний) функтор \mathcal{F}: \mathcal{C}to \mathcal{D} ставить у відповідність кожному об'єктові категорії \mathcal{C} об'єкт категорії \mathcal{D} і кожному морфізму f: A\to B морфізм F(f): F(A)\to F(B) так, що

  • F(id_A) = id_{F(A)}\, і
  • F(g)\circ F(f)= F(g\circ f).

Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з \mathcal{C} у \mathcal{D}^{op} , тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Примітки[ред.ред. код]

  1. Хелемский А. Я. Лекції по функціональному аналізу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Чи потрібна фізикам теорія категорій?
  4. Топоси для фізики. {ref-en}
  5. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Література[ред.ред. код]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.