Задача Бюффона

Голка a перетинає пряму, а голка b — ні.

Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі. Її запропонував французький учений Бюффон 1777 року.

Задача

Площина розграфлена паралельними прямими, які розташовані на відстані $2a$ одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки $2l$ ($2l<2a$). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.

Розв'язання

Позначимо $x$ — відстань від центру голки до найближчої прямої; через $\varphi$ — кут між голкою та прямою (проти годинникової стрілки). Упорядкована пара чисел з одного боку задає на площині точку, що належить прямокутнику $B=[0,\pi ]\times [0,a]$. Тому кидання голки на площину рівносильне киданню голки в прямокутник $B$. При цьому голка перетинається з прямою тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність $x\leq l\sin \varphi$. Тобто, якщо голка перетинається з прямою, то точка, що їй відповідає, потрапляє всередину фігури, що обмежена кривою $x=l\sin \varphi$ та віссю $O\varphi$. А оскільки точку кидають навмання, то ймовірність її потрапляння до цієї фігури обчислюється як геометрична ймовірність. Отже, шуканою ймовірністю є:

$p={\frac {1}{a\pi }}\int _{0}^{\pi }l\sin \varphi d\varphi ={\frac {2l}{a\pi }}$

Обчислення числа Пі

Уявімо що голка кинута на площину n разів, де n — досить велике, і при цьому вона m разів перетнула пряму. Якщо побудована модель адекватно описує експеримент, то при великих n частота числа перетинів має бути близькою до ймовірності, тобто має виконуватись співвідношення ${\frac {2l}{a\pi }}\approx {\frac {m}{n}}$, звідки дістанемо:

$\pi \approx {\frac {2l}{a}}\cdot {\frac {n}{m}}$

Джерела

• В. М. Турчин (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.