Метод статистичної лінеаризації

Ме́тод статисти́чної лінеариза́ції  — метод, що полягає в заміні нелінійних характеристик елементів систем автоматичного керування (САК) лінійною залежністю, еквівалентною в значенні наближення перших двох моментів закону розподілу вхідних координат. Сутність методу полягає в тому, що нелінійна залежність $\!Z(t)=F\left[X(t)\right]\,\,\,(1)$
зв'язуюча вхідну $\!X(t)$ і вихідну $\!Z(t)$ випадкові змінні деякого елемента САК замінюється лінійною функцією вигляду

$\!Z{}_{1}(t)=a(t)\left[X(t)-{\overline {x}}(t)\right]+b(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

де $\!{\overline {x}}(t)$— математичне сподівання випадкової величини $\!X(t)$, $\!a(t)$ і $\!b(t)$ — деякі невідомі (не випадкові) функції, які визначаються так, щоб $\!Z{}_{1}(t)$ найкращим чином апроксимувала $\!Z(t)$ у вищезгаданому значенні. Для збігу перших моментів (математичних сподівань) необхідне виконання рівності

$\!b(t)=M\{F\left[X(t)\right]\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Функцію $\!a(t)$ визначають з умов наближення других моментів різними способами:

• 1) З умови рівності дисперсій $\!Z(t)$ і $\!Z{}_{1}(t)$ (функція $\!a(t)$тут позначається $\!a_{1}(t)$: $\!\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)\cdot \mathop {a} _{1}^{2}(t)=\mathop {\sigma } _{z}^{2}(t)$, тобто

$\!a{}_{1}(t)=\pm {\frac {\sigma {}_{z}(t)}{\sigma {}_{x}(t)}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$
де знак в правій частині рівності повинен бути вибраний так, щоб характер зміни функцій $\!Z(t)$ і $\!Z{}_{1}(t)$ був однаковим (наприклад, якщо $\!Z(t)=X^{3}(t)$, то повинен бути узятий «+», а якщо $\!Z(t)=-sign\,X(t)$, то повинен бути узятий «—»).

• 2) З умови мінімуму дисперсії різниці $\!\left[Z(t)-Z{}_{1}(t)\right]$ (тут функція $\!a(t)$позначена $\!a_{2}(t)$):

$\!\min \,D\,\{F[X(t)]-a_{2}(t)[X(t)-{\overline {x}}(t)]-b(t)\}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$
Обчисливши значення дисперсії в (5) і мінімізувавши отриманий вираз по $\!a_{2}(t)$ відомими методами, отримаємо

$\!a_{2}(t)={\frac {k{}_{xz}(t)}{\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)$

де $\!k{}_{xz}$ — кореляційний момент $\!X(t)$ і $\!Z(t)$. Функції $\!a_{1}(t)$ і $\!a_{2}(t)$, природно, не збігаються між собою і не можуть бути вказані загальні міркування на користь того або іншого способу визначення $\!a(t)$. Виходячи з досвіду практичних розрахунків, рекомендується як $\!a(t)$ брати напівсуму $\!a{}_{1}(t)$ і $\!a{}_{2}(t)$: $\!a(t)={\frac {1}{2}}[a_{1}(t)+a_{2}(t)].\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)$
Для обчислення виразів (3), (4), (6) необхідно мати закон розподілу (густина ймовірності) $\!f(x)$ ординати випадкової функції $\!X(t)$ у момент $\!t$. Тоді за загальними формулами для математичного сподівання можна визначити $\!b(t)={\overline {z}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{F(x)}\,f(x)\,dx;\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8)$

$\!\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{F^{2}(x)}\,f(x)\,dx-{\overline {z^{2}}}(t);\,\,\,\,\,\,\,\,\,(9)$
і
$\!k{}_{xz}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{xF(x)}\,f(x)\,dx-{\overline {x}}(t){\overline {z}}(t).\,\,\,\,\,\,\,\,\,(10)$

Тут $\!f(x)$ для нестаціонарних процесів $\!X(t)$ залежить від $\!t$ як від параметра. Метод застосовний і для нелінійних систем із зворотним зв'язком. В цьому випадку аргументом характеристики нелінійної ланки буде не вхідна функція $\!X(t)$, а сума $\!X(t)+Y(t)$ вхідної і вихідної функцій, а лінеаризувати належить $\!F\left[X(t)+Y(t)\right]\,$. Формально і тут можна покласти $\!F\left[X(t)+Y(t)\right]\,=a(t)[\left[X(t)+Y(t)\right]]+b(t).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(11)$ Для визначення $\!a(t)$і $\!b(t)$ тут, окрім закону розподілу $\!f(x)$ необхідно мати також закон розподілу суми $\!X(t)+Y(t)$. Оскільки параметри $\!Y(t)$ невідомі, то звичайно при розрахунках вважають, що сума $\!X(t)+Y(t)$ задовольняє нормальному закону розподілу. Це припущення виправдано лише в тому і лише у тому випадку, коли в замкнутому контурі міститься лінійна інерційна ланка з великою сталою часу. Тоді, як відомо, розподіл вихідної координати $\!Y(t)$ наближається до нормального навіть при значних відмінностях закону розподілу на вході інерційного елемента від нормального.

Література

• Енциклопедія кібернетики : у 2 т. / за ред. В. М. Глушкова. — Київ : Гол. ред. Української радянської енциклопедії, 1973.
• Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М,, 1962 [библиогр. с. 873—878;
• Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М., 1962 [библиогр. с. 325—328].