Математичне сподівання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. [1]

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Означення 1[ред.ред. код]

Нехай дискретна випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .

  • Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на їхні ймовірності: [2]
,

де

— це середнє значення випадкової величини , областю можливих значень якої є множина ;
оператор математичного сподівання;
— математичне сподівання величини .

Твердження[ред.ред. код]

  • Якщо є випадкова величина , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто , то середнє значення такої величини визначається так: [3]

Означення 2[ред.ред. код]

Нехай випадкова змінна задана густиною розподілу ймовірностей :, .

  • Математичним сподіванням такої числової змінної , якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:
.

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Ймовірність середнього значення[ред.ред. код]

Деякі формули для обчислення математичного сподівання[ред.ред. код]

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції та випадкової величини :

,

де  — функція розподілу випадкової величини .

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

Деякі властивості математичного сподівання[ред.ред. код]

  1. Якщо та — незалежні інтегровні випадкові величини, то .
  2. Якщо та — інтегровні випадкові величини, то .
  3. Якщо — інтегровна випадкова величина, то .

Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання[ред.ред. код]

Нехай випадкова величина розподілена за законом Коші з параметрами та , тобто . Ця випадкова величина має щільність:

.

Знайдемо її математичне сподівання.

.

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини .

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — 556 с. — ISBN 966-346-284-1.
  2. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. — Математический анализ. — М.- Л., 1947. — С. 431.
  3. а б Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — С. 140-145.
  4. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]