Лінеаризація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Лінеаризація функції[ред.ред. код]

Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції в будь-якій беручи за основу нахил функції в , за умови неперервності на (або ) і того, що достатньо близько до . Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля .

Наприклад, . Однак, що буде хорошим наближенням для ?

Будь-яку функцію можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації функції в точці виконується . Загальною формою рівняння в околі точки при нахилі є: .

Використовуючи точку , набуває вигляду . Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до у .

Наближення для f(x)=x^2 у (x, f(x))

Візуально, на зображені показана дотична лінії для у . В , де є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, дуже близьке до значення на дотичній в точці .

У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в :

Приклад[ред.ред. код]

Щоб знайти , ми можемо використати те, що . Лінеаризацією в є , бо функція визначає нахил функції в . При , лінеаризація в 4 є . У цьому випадку , отже це приблизно . Справжнє значення близьке до 2.00024998.

Лінеаризація функції багатьох змінних[ред.ред. код]

Рівняння для лінеаризації функції в точці таке:

Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних у точці таке:

де є вектором змінних і точка в якій ми лінеаризуємо.[1]

Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь[ред.ред. код]

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

,

лінеаризовану систему можна записати як

де це цікава нам точка і це якобіан evaluated at .

Якщо точка   критична, то рівняння набуває вигляду

Примітки[ред.ред. код]