T-функція Оуена

В математиці, T-функція Оуена $T(h,a)$, названа на честь статистика Дональда Брюса Оуена, визначається формулою

$T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).$

Вперше функція була представлена Оуеном в 1956 році.

Застосування

Функція $T(h,a)$ дає ймовірність події ($X>h$ та $0<Y<aX$), де X і Y є незалежними стандартними нормальними випадковими величинами.

Цю функцію можна використовувати для обчислення двовимірних ймовірностей нормального розподілу, і далі - для обчислення багатовимірних ймовірностей нормального розподілу. Вона також часто зустрічається в різних інтегралах, в яких використовуються функції Гауса.

Доступні комп’ютерні алгоритми для точного розрахунку цієї функції; квадратура застосовується з 1970-х років.

Властивості

$T(h,0)=0$

$T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)$

$T(-h,a)=T(h,a)$

$T(h,-a)=-T(h,a)$

$T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)\quad {\text{if}}\quad a\geq 0$

$T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}\quad {\text{if}}\quad a<0$

$T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)$

$\int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln(1+x^{2})+C$

Тут Φ (x) - стандартна нормальна кумулятивна функція розподілу

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-t^{2}/2\right)\,\mathrm {d} t$

Більше властивостей можна знайти в літературі.

Список літератури

• Owen, D. (1980). A table of normal integrals. Communications in Statistics: Simulation and Computation. B9: 389—419. (англ.)

Програмне забезпечення

• Owen's T function (user web site) - offers C++, FORTRAN77, FORTRAN90, and MATLAB libraries released under the LGPL license LGPL
• Owen's T-function is implemented in Mathematica since version 8, as OwenT.

Зовнішні посилання

• Why You Should Care about the Obscure (Wolfram blog post) (англ.)