Нормальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

Нормальний розподіл
Функція ймовірностей
Щільність (густина) нормального розподілу
Червона крива відповідає стандартному нормальному розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини
Параметри μR — математичне сподівання
σ2 > 0 — дисперсія
Носій функції xR
Розподіл ймовірностей \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]
Середнє μ
Медіана μ
Мода μ
Дисперсія \sigma^2\,
Коефіцієнт асиметрії 0
Коефіцієнт ексцесу 0
Ентропія \frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)
Твірна функція моментів (mgf) \exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}
Характеристична функція \exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}

f(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

де \mu — математичне сподівання, \sigma^2 — дисперсія випадкової величини. Параметр \sigma також відомий, як стандартний відхил. Розподіл із μ = 0 та σ 2 = 1 називають стандартним нормальним розподілом.


Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількості пострілів характеризується саме нормальним розподілом.

Нормально розподілена випадкова величина позначається так: \xi \sim N(\mu,\sigma^2).

Твердження[ред.ред. код]

Якщо генеральна сукупність вимірів нормально розподілена, характеризується ступенем квантування вимірів [Q]\,, не має систематичних похибок, тоді:

P(X)=P\left(x_{min}-\frac {[Q]}{2}<X<x_{max}+\frac {[Q]}{2}\right)=1
P(\mu\,)=1

Особливість[ред.ред. код]

Якщо дискретні випадкові величини \,X,\,Y мають нормальний розподіл імовірностей, то їх сума \,Z=X+Y,  різниця \,V=X-Y також будуть нормально розподілені, а добуток \,U=XY величин \,X,\,Y не буде підпорядкований нормальному розподілу. [4]

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Пряха Б. Г., Білецький Я. В. Про точність геодезичних вимірювань // Вісник геодезії та картографії. — 2003. — № 3(30). — С. 43-49.
  2. Пряха Б. Г. Про точність вимірювань // Реконструкція житла: Науково-виробничне видання. — Вип. 7. — К.: «Поліграф-експрес», 2006. — С. 122–123.
  3. Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Л.: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — С. 140–145.
  4. Пряха Б. Означення суми, різниці та добутку випадкових величин // Геодезія, картографія і аерофотознімання: Міжвідомчий науково-технічний збірник. — Л.: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — 2009. — Вип. 72. — С. 41-49.

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний
Статистика Це незавершена стаття із статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.