Багатовимірний нормальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Багатовимірний нормальний розподіл (чи багатовимірний гаусів розподіл) у теорії ймовірностей — це узагальнення одновимірного нормального розподілу.

Визначення[ред.ред. код]

Випадковий вектор має багатомірний нормальний розподіл, якщо виконується одне з наступних еквівалентних умов:

  • Довільна лінійна комбінація компонентів вектора має нормальний розподіл є константою.
  • Існує вектор незалежних стандартних нормальних випадкових величин , дійсний вектор і матриця розмірності , такі що:
.
.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Якщо розглядати тільки розподілу з невиродженою коваріаційною матрицею, то еквівалентним буде також наступне визначення:
Існує вектор і додатно визначена симетрична матриця розмірності , такі що щільність ймовірності вектора має вид:
,
де визначник матриці , а — матриця зворотна до


  • Вектор є вектором середніх значень , а — його коваріаційна матриця
  • У випадку , багатовимірний нормальний розподіл зводиться до звичайного нормального розподілу.
  • Якщо випадковий вектор має багатовимірний нормальний розподіл, то пишуть .

Властивості багатомірного нормального розподілу[ред.ред. код]

  • Якщо вектор має багатовимірний нормальний розподіл, то його компоненти мають одновимірний нормальний розподіл. Зворотне, узагалі говорячи, невірно (див. приклад [1])!
  • Якщо випадкові величини мають одномірний нормальний розподіл і спільно незалежні, те випадковий вектор має багатомірний нормальний розподіл. Матриця коваріацій такого вектора діагональна.
  • Якщо має багатомірний нормальний розподіл, і його компоненти попарно некорельовані, то вони незалежні. Однак, якщо тільки компоненти мають одномірний нормальний розподіл і попарно не корелюють, те звідси не випливає, що вони незалежні.
Контрприклад. Нехай , а з рівними ймовірностями. Тоді якщо , те кореляція і дорівнює нулю. Однак, ці випадкові величини залежні.
  • Багатомірний нормальний розподіл стійко щодо лінійних перетворень. Якщо , а — довільна матриця розмірності , то
.

Багатомірна центральна гранична теорема[ред.ред. код]

Нехай — послідовність незалежних і однаково розподілених випадкових векторів, кожний з який має середнє і невиродженну матрицю коваріацій . Позначимо через вектор часткових сум. Тоді при має місце збіжність розподілів векторів , де має розподіл . В умовах багатовимірної центральної граничної теореми розподіл будь-яких неперервних функцій збігається до розподілу . Як нам буде потрібна тільки .

Наслідок[ред.ред. код]

В умовах багатовимірної центральної граничної теореми має місце збіжність .