Випадкова величина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Випадкова величина  — одне з основних понять теорії ймовірностей[1].

Означення[ред.ред. код]

Множина \left\{x=X\right\} елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини X\,, називається областю значень цієї величини . [3]

Властивості[ред.ред. код]

Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі  (\Omega, \mathcal{F}) , тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деяким дійсним числом. Більш формально:

 X: \Omega\rightarrow \mathbb{R} називається випадковою величиною, якщо  \forall A\sub \mathcal B(\mathbb {R})\ \ X^{-1}(A)\sub \mathcal{F}, де  \mathcal B(\mathbb {R}) -- \sigma-алгебра Борелевих множин на \mathbb{R}.

Нехай x1, x2, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення xj може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = xj. Ймовірність цієї події позначається P\{\mathbf{X} = x_j\}. Система рівнянь:

P\{\mathbf{X} = x_j\} = f(x_j)

визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.

Очевидно, що:

f(x_j) \ge 0 та \sum f(x_j) = 1.

Якщо дві або більше випадкових величини X1, X2, …, Xn визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям \mathbf{X}_1 = x_{j_1}, \mathbf{X}_2 = x_{j_2} і т. д. призначаються визначені ймовірності.

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень x_{j_1}, x_{j_2}, …, x_{j_n} виконується рівність:

P\{\mathbf{X}_1 = x_{j_1}, \mathbf{X}_2 = x_{j_2}, \dots, \mathbf{X}_n = x_{j_n} \} = P\{\mathbf{X}_1 = x_{j_1}\}P\{\mathbf{X}_2 = x_{j_2}\}\dots P\{\mathbf{X}_n = x_{j_n}\}

Тобто, якщо Xk залежить лише від k-го випробування, то випадкові величини X1, X2, …, Xn взаємно незалежні.

Ймовірність випадкової величини[ред.ред. код]

  • Ймовірність випадкової величини X\, дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень: [4]
P(X)=P(x_{min}<X<x_{max})=P(z_{1}<Z<z_{2})=\frac {1}{2\pi}\int_{z_1}^{z_2} e^{- {z^2}/{2}} dz

де

z_{1}=\frac{x_{min}-\mu}{\sigma}; z_{2}=\frac{x_{max}-\mu}{\sigma} — граничні значення нормованої величини Z\,;
\mu\, — це середнє значення величини X\,;
\sigma\,стандартне відхилення цієї величини.

Особливість[ред.ред. код]

  • Серед усіх випадкових величин найбільший ступінь довіри має розмах [5].
  • Випадкові величини, що набувають значень від -\infin до \infin, у практичній діяльності людини не зустрічаються [6].

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.  С. 91.
  2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука. — 1968. — С. 484.
  3. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108.
  4. Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Л.: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — С. 140-145.
  5. Пряха Б.Г., Білецький Я.В. Про точність геодезичних вимірювань // Вісник геодезії та картографії. — 2003. №3(30). — С. 43-49.
  6. Білецький Я.В., Пряха Б.Г. Про дисперсії геодезичних вимірів // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: КП "Видавництво "Чернігівські обереги", 2005. — С. 55-57.

Література[ред.ред. код]

  • В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир.