Підстановки Ейлера — підстановки, що зводять інтеграли виду
, де
— раціональна функція, до інтегралів від раціональних функцій. Запропоновані Л. Ейлером у 1768 році [1]
Підстановки
Перша підстановка
Використовується тоді, коли
.Здійснюється заміна:
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t\pm {\sqrt {a}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a67298ceeed15772a3c3396a6a17ca828df0326)
Розв'язавши відносно
, знаходимо
![{\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dcd3cb8789e02d0eca32174347baa9ba61f3e9)
У цій підстановці можна вибрати додатній або від'ємний знак.
Друга підстановка
Використовується тоді, коли
.Здійснюється заміна
.
Як і у попередньому випадку розв'язуємо відносно
і знаходимо
![{\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130291e8fb094109982f1f15fb568da419102d71)
Знову ж можна вибрати додатній або від'ємний знак.
Третя підстановка
Якщо многочлен
має дійсні корені
та
, то виконуємо заміну:
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c2c4fd2c004edeb0c9b1811dbf9f52090a5d12)
як і в попередніх випадках, ми можемо представити підінтегральну функцію, як раціональний вираз від
.
Базові приклади
Приклади для першої підстановки
Приклад 1
В інтегралі
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe4685b813df5723c87e1f11622c6f34b0a9c85)
можна використовувати першу підстановку Ейлера:
, тоді
![{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\quad {\rm {d}}x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {x^{2}+c}}={\frac {t^{2}+c}{2t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab6c9a196a45b9b6dc5ab078db66601df9679f2)
Відповідно, отримуємо
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\dfrac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\dfrac {t^{2}+c}{2t}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baea912a336c9c6d802f2b05066c044dcbbae810)
Для
отримуємо відповідно формули:
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {arcsh} (x)+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fd31de8f6d0c355c94b6015d987d183a2836de)
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {arcch} (x)+C,\quad x>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43641e502a1a127cd240f6390d2d9ce9ee8f22bd)
Приклад 2
Для інтегрування
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}\,{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22088c85dad3ba653f9db9d1d2e9a98d0d01d9ba)
використовуємо першу підстановку Ейлера
Після піднесення обох частин до квадрату отримуємо
![{\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3555e0e04a40ff89b89245d40ac4b50cc165548e)
та знаходимо
![{\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c2ae6034b546bbd505ddb27c23a796b23f122)
Далі знаходимо співвідношення між
та
![{\displaystyle {\rm {d}}x={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}\,{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c305544df9b6ba2fd9bc30276adb73dc2899409e)
Таким чином,
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {\dfrac {-2t^{2}+8t+8}{\left(4-2t\right)^{2}}}{\left({\dfrac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\dfrac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}{\rm {d}}t=2\int {\frac {{\rm {d}}t}{t^{2}+4}}=\operatorname {arctg} \left({\frac {t}{2}}\right)+C=\operatorname {arctg} \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fe264c2519c29e6c49ed66b409f62377efc149)
Приклад для другої підстановки
В інтегралі
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029be5109ca601dbe3c2a1526c1ace65fba541d4)
можна застосувати другу підстановку Ейлера
Звідси знаходимо
та
![{\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b783a501cbeb1dda60cf34c7ce081fc5b96a84a)
Відповідно, отримуємо
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\dfrac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}{{\dfrac {1-2{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}\cdot {\dfrac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+2}{t^{2}+1}}}}\,{\rm {d}}t\\&=\int {\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {-x^{2}+x+2}}{x}}-1\right|+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f941dffdea843cdca0d868a1bb5d6f157d32c6)
Приклад для третьої підстановки
Для того, щоб проінтегрувати
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a091d4955272aa4a208197b72eefc7e84c3b5255)
можна використати третю підстановку Ейлера
![{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66221ec0c47f4454e84c66993b6c2f93c547446)
Звідси знаходимо
та
:
![{\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2t}{{-t^{2}-1}^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\frac {t}{-t^{2}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2dabf0b91c7b96659a6a5e8de150b2e16ac226)
Підставимо всі дані у початковий інтеграл
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x=\int {\frac {\left({\dfrac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}\cdot {\dfrac {2t}{\left({-t^{2}-1}^{2}\right)}}}{\dfrac {t}{-t^{2}-1}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {2\left(-2t^{2}-1\right)^{2}}{\left(\left(-t^{2}-1\right)^{2}\right)^{3}}}\,{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae44e3fea8abdd5996e7ba820df64deb6606e10f)
Як можна побачити, це інтеграл від раціональної функції, який можна проінтегрувати за допомогою метод невизначених коефіцієнтів.
Узагальнення
Підстановки Ейлера можна узагальнити шляхом використання уявних чисел.
Наприклад, для інтегрування
![{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abd09210d042d58a80b50a547c3a12130dec107)
можна скористатися підстановкою
Розширення на комплексні числа дозволяє використовувати всі підстановки Ейлера незалежно від коефіцієнтів
квадратного тричлена.
Підстановки Ейлера можна узагальнити на ширший клас функцій. Розглянемо інтеграли вигляду
![{\displaystyle \int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,{\rm {d}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12684a542c3e53d9bf190f995177101a3e3a5214)
де
та
є раціональними функціями від
та
. Цей інтеграл можна звести за допомогою підстановки
до вигляду
![{\displaystyle \int {\widetilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\widetilde {R}}_{2}(t){\big )}\,{\rm {d}}t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fd4efa15483a617821f9bc993901bc5abeb542)
де
та
тепер раціональні функції змінної
.
У принципі, метод розкладання на множники та метод невизначених коефіцієнтів можна використовувати для зведення цього інтегралу до інтегралів простішого вигляду, які можна інтегрувати аналітично за допомогою функції дилогарифм. [2]
Цікаві факти
За спогадами учня Ландау А.В.Ахіезера, той вкрай негативно ставився до використання даних підстановки:
«[...]він (Ландау) запропонував мені вирахувати [...] інтеграл від раціональної дробу. [...] я вирахував, не використовуючи стандартних підстановок Ейлера, і це мене врятувало, бо, як я зрозумів згодом, Ландау не терпів їх і вважав, що кожен раз потрібно використовувати який-небудь штучний прийом, що, власне, я і зробив»
Див. також
Примітки
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
- ↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. с. 145—146. ISBN 978-0867202939.
Посилання