Підстановки Ейлера

Підстановки Ейлера — підстановки, що зводять інтеграли виду $\int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right){\rm {d}}x$, де $R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)$ — раціональна функція, до інтегралів від раціональних функцій. Запропоновані Л. Ейлером у 1768 році

Підстановки

Перша підстановка

Використовується тоді, коли $a>0$ .Здійснюється заміна:

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t\pm {\sqrt {a}}x$

Розв'язавши відносно $x$, знаходимо

$x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}.$

У цій підстановці можна вибрати додатній або від'ємний знак.

Друга підстановка

Використовується тоді, коли $c>0$ .Здійснюється заміна

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm xt\pm {\sqrt {c}}$.

Як і у попередньому випадку розв'язуємо відносно $x$ і знаходимо

$x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.$

Знову ж можна вибрати додатній або від'ємний знак.

Третя підстановка

Якщо многочлен $ax^{2}+bx+c$ має дійсні корені $\alpha$ та $\beta$, то виконуємо заміну:

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t.$

як і в попередніх випадках, ми можемо представити підінтегральну функцію, як раціональний вираз від $t$.

Базові приклади

Приклади для першої підстановки

Приклад 1

В інтегралі

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}},$

можна використовувати першу підстановку Ейлера: ${\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t$, тоді

$x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\quad {\rm {d}}x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {x^{2}+c}}={\frac {t^{2}+c}{2t}}.$

Відповідно, отримуємо

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\dfrac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\dfrac {t^{2}+c}{2t}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C.$

Для $c=\pm 1$ отримуємо відповідно формули:

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {arcsh} (x)+C,$

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {arcch} (x)+C,\quad x>1.$

Приклад 2

Для інтегрування

$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}\,{\rm {d}}x$

використовуємо першу підстановку Ейлера ${\sqrt {x^{2}+4x-4}}=x+t.$ Після піднесення обох частин до квадрату отримуємо

$x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}.$

та знаходимо $x$

$x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.$

Далі знаходимо співвідношення між ${\rm {d}}x$ та ${\rm {d}}t$

${\rm {d}}x={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}\,{\rm {d}}t.$

Таким чином,

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {\dfrac {-2t^{2}+8t+8}{\left(4-2t\right)^{2}}}{\left({\dfrac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\dfrac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}{\rm {d}}t=2\int {\frac {{\rm {d}}t}{t^{2}+4}}=\operatorname {arctg} \left({\frac {t}{2}}\right)+C=\operatorname {arctg} \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.$

Приклад для другої підстановки

В інтегралі

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}$

можна застосувати другу підстановку Ейлера ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}.$ Звідси знаходимо $x$ та ${\rm {d}}x$

$x={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}.$

Відповідно, отримуємо

${\begin{aligned}\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\dfrac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}{{\dfrac {1-2{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}\cdot {\dfrac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+2}{t^{2}+1}}}}\,{\rm {d}}t\\&=\int {\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {-x^{2}+x+2}}{x}}-1\right|+C.\end{aligned}}$

Приклад для третьої підстановки

Для того, щоб проінтегрувати

$\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x,$

можна використати третю підстановку Ейлера

${\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t,$

Звідси знаходимо $x$ та ${\rm {d}}x$:

$x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2t}{{-t^{2}-1}^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\frac {t}{-t^{2}-1}}.$

Підставимо всі дані у початковий інтеграл

$\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x=\int {\frac {\left({\dfrac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}\cdot {\dfrac {2t}{\left({-t^{2}-1}^{2}\right)}}}{\dfrac {t}{-t^{2}-1}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {2\left(-2t^{2}-1\right)^{2}}{\left(\left(-t^{2}-1\right)^{2}\right)^{3}}}\,{\rm {d}}t.$

Як можна побачити, це інтеграл від раціональної функції, який можна проінтегрувати за допомогою метод невизначених коефіцієнтів.

Узагальнення

Підстановки Ейлера можна узагальнити шляхом використання уявних чисел. Наприклад, для інтегрування

$\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {-x^{2}+c}}}$

можна скористатися підстановкою ${\sqrt {x^{2}+c}}=\pm ix+t.$

Розширення на комплексні числа дозволяє використовувати всі підстановки Ейлера незалежно від коефіцієнтів квадратного тричлена.

Підстановки Ейлера можна узагальнити на ширший клас функцій. Розглянемо інтеграли вигляду

$\int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,{\rm {d}}x,$

де $R_{1}$ та $R_{2}$ є раціональними функціями від $x$ та ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$. Цей інтеграл можна звести за допомогою підстановки ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt$ до вигляду

$\int {\widetilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\widetilde {R}}_{2}(t){\big )}\,{\rm {d}}t,$

де ${\widetilde {R}}_{1}$ та ${\widetilde {R}}_{2}$ тепер раціональні функції змінної $t$.

У принципі, метод розкладання на множники та метод невизначених коефіцієнтів можна використовувати для зведення цього інтегралу до інтегралів простішого вигляду, які можна інтегрувати аналітично за допомогою функції дилогарифм.

Цікаві факти

За спогадами учня Ландау А.В.Ахіезера, той вкрай негативно ставився до використання даних підстановки:

«[...]він (Ландау) запропонував мені вирахувати [...] інтеграл від раціональної дробу. [...] я вирахував, не використовуючи стандартних підстановок Ейлера, і це мене врятувало, бо, як я зрозумів згодом, Ландау не терпів їх і вважав, що кожен раз потрібно використовувати який-небудь штучний прийом, що, власне, я і зробив»

Див. також

• Методи інтегрування
• Універсальна тригонометрична підстановка
• Дилогарифм

Посилання

• Підстановки Ейлера на dic.academic.ru [Архівовано 15 березня 2017 у Wayback Machine.]
• Приклад використання підстановки Ейлера на [Архівовано 16 листопада 2012 у Wayback Machine.] PlanetMath(англ.)