Часткова геометрія
Нехай є структура інцидентності , що складається з точок , прямих і прапорів . Кажуть, що точка інцидентна прямий , якщо . Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
- Для будь-якої пари різних точок і існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
- Кожна пряма інцидентна точці.
- Кожна точка інцидентна прямій.
- Якщо точка і пряма не інцидентні, існує рівно пар , таких, що інцидентна , а інцидентна .
Часткова геометрія з цими параметрами позначається .
Властивості
- Число точок задається формулою , а число прямих — формулою .
- Точковий граф[1] структури є сильно регулярним графом: .
- Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для є структура .
Окремі випадки
- Узагальнені чотирикутники — це в точно часткові геометрії з .
- Системи Штейнера — це в точно часткові геометрії з .
Узагальнення
Частково лінійний простір[en] порядку називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
- Якщо точка і пряма не інцидентні, існує або , або рівно пар , таких, що інцидентна і інцидентна .
- Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно спільних сусідів.
Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли .
Легко показати, що граф колінеарності[1] такої геометрії строго регулярний з параметрами .
Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри .
Примітки
- ↑ а б Якщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P.
Література
- Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A. — Toronto : Academic Press, 1984. — С. 85–122.
- Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13 (25 серпня). — С. 389–419.
- De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
- Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
- Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25 (25 серпня). — С. 242–250.
|