Збалансоване дерево

Приклад незбалансованого дерева

Те саме дерево після балансування

У програмуванні збалансоване дерево в загальному розумінні цього слова — це такий різновид двійкового дерева пошуку, яке автоматично підтримує свою висоту, тобто кількість рівнів вершин під коренем є мінімальною.

Загальні відомості

Швидкість роботи більшості операцій на деревах залежить від висоти дерева. Такими операціями в першу чергу є:

• пошук вершини
• вставка вершини
• видалення вершини

Швидкість цих операцій напряму залежить від висоти дерева -- O(Height). Якщо говорити про залежність між кількістю вершин в дереві та його висотою, то висота дерева лежить у таких межах:

• H = N Висота дерева дорівнює кількості вершин у дереві, якщо дерево є виродженим.
• H = log(N) Висота дерева дорівнює логарифму, якщо дерево є повним.

Збалансованість дерева є важливою саме тому, що час виконання більшості алгоритмів на двійкових деревах пошуку є пропорційний до їхньої висоти. Звичайні двійкові дерева пошуку можуть мати досить велику висоту в тривіальних ситуаціях, що від’ємно впливає на швидкість виконання операцій.

Процедура зменшення (балансування) висоти дерева виконується за допомогою трансформацій, відомих як обернення дерева, в певні моменти часу (переважно при видаленні або додаванні нових елементів).

Визначення збалансованості

Більш точне визначення збалансованих дерев було дане Г. Адельсон-Вельським та Є. Ландісом.

Ідеально збалансоване дерево

Ідеально збалансоване дерево, за Г. Адельсон-Вельським та Є. Ландісом— це дерево, у якого для кожної вершини різниця між висотами лівого та правого піддерев не перевищує одиниці. Однак, така умова доволі складна для виконання на практиці і може вимагати значної перебудови дерева при додаванні або видаленні елементів.

АВЛ-збалансованість (AVL-збалансованість)

Підтримка ідеальної збалансованості на практиці може бути досягнуто частими перебудовами дерева, що може помітно вплинути на час виконання операцій. Тому було запропоноване менш строге визначення, яке отримало назву АВЛ-збалансованості. Воно говорить, що бінарне дерево є збалансованим, якщо висоти лівого та правого піддерев різняться не більше ніж на одиницю. Дерева, що задовольняють таким умовам, називаються АВЛ-деревами. Зрозуміло, що кожне ідеально збалансоване дерево є також АВЛ-збалансованим, але не навпаки.

Див. також

• AVL-дерево
• B-дерево
• Червоно-чорне дерево

Джерела

• Г. М. Адельсон-Вельський, Є. М. Ландіс, “Один алгоритм організації інформацій”, Докл. АН СССР, 146:2 (1962) (російською мовою)