Мілена Дравич народилася у Белграді, з чотирьох років її діяльність була пов'язана зі сценою: спочатку з танцями потім з класичним балетом. У 1959 році, ще навчаючись у старших класах, режисер Франтішек Чап побачив її на обкладинці молодіжного журналу на фото у групі танцівниць балету та спонтано вирішив залучити її до зйомок у фільмі «Ворота залишаються відчиненими» (Vrata ostaju otvorena). Після зйомок у декількох інших вільмах вона вирішила повністю присвятити себе акторству та успішно вступила у Белградську академію драматичних мистецтв.