Нерівність Пеєтре

У математиці нерівність Пеєтре є нерівністю на векторних просторах названою на честь естонського математика Яака Пеєтре.

Для довільного дійсного числа t і векторів x і y у Rⁿ, вірною є нерівність:

$\left({\frac {1+|x|^{2}}{1+|y|^{2}}}\right)^{t}\leqslant 2^{|t|}(1+|x-y|^{2})^{|t|}.$

Нерівність часто використовується у функціональному аналізі і теорії диференціальних рівнянь.

Доведення

Для довільних векторів $y,z\in \mathbb {R} ^{n}$ із нерівності Коші — Буняковського і означення норми вектора випливає, що

${\begin{aligned}1+|y-z|^{2}&=1+|y|^{2}+2(y,z)+|z|^{2}\\&\leqslant 1+|y|^{2}+2|y||z|+|z|^{2}\\&\leqslant 1+2|y|^{2}+2|z|^{2}\\&\leqslant 2(1+|y|^{2})(1+|z|^{2}).\end{aligned}}$

Якщо позначити $x=y-z$ то одержується нерівність:

$1+|x|^{2}\leqslant 2(1+|y|^{2})(1+|x-y|^{2}).$

Якщо $t>0$ то після піднесення цієї нерівності у степінь t одержується твердження нерівності Пеєтре. Якщо $t<0$ то $-t>0$ і тому після зміни місцями векторів $y$ і $x$ і піднесення нерівності у степінь $-t$ одержиться нерівність:

$(1+|y|^{2})^{-t}\leqslant 2^{-t}(1+|x|^{2})^{-t}(1+|x-y|^{2})^{-t}.$

Нерівність Пеєтре одержується після множення обидвох частин останньої нерівності на $(1+|x|^{2})^{t}$ і врахування того факту, що у цьому випадку $|t|=-t.$

Якщо $t=0$, то обидві сторони нестрогої нерівності Пеєтре є рівними 1.

Література

• Chazarain, J.; Piriou, A. (2011), Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations, Studies in Mathematics and its Applications, Elsevier, с. 90, ISBN 9780080875354.
• Ruzhansky, Michael; Turunen, Ville (2009), Pseudo-Differential Operators and Symmetries: Background Analysis and Advanced Topics, Pseudo-Differential Operators, Theory and Applications, т. 2, Springer, с. 321, ISBN 9783764385132.
• Saint Raymond, Xavier (1991), Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, Studies in Advanced Mathematics, т. 3, CRC Press, с. 21, ISBN 9780849371585.