Векторний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор v (синій) додається до іншого вектора w (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, w видовжений множенням на 2, показано суму v + 2w.

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Означення[ред.ред. код]

Лінійний простір над полем — це множина елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

  • бінарна операція додавання векторів:
  • унарна операція множення вектора на скаляр:

що задовільняють наступну систему аксіом[1]:

  • комутативна група відносно операції додавання векторів:
    • (комутативність додавання)
    • (асоціативність додавання)
    • (існування нульового вектора)
    • (існування протилежного вектора)
  • асоціативність та унітарність множення на скаляри:
    • (асоціативність множення на скаляри)
    • (де це одиниця поля )
  • дистрибутивність додавання і множення на скаляр:

Найпоширеніші лінійні простори над полем дійсних чисел або комплексних чисел.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле замінено на кільце . Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Історія[ред.ред. код]

Векторні простори беруть початок із афінної геометрії після запровадження координат на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, Декарт і Ферма започатковують аналітичну геометрію, коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на кривій в площині.[2] В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, Больцано запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів.[3] Його роботу згодом використав Мебіус в 1827 при введені поняття барицентричних координат.[4] В 1828 Мурей[en] припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.[5]

Визначення векторів було засновано на понятті Беллавітіса пари точок (англ. bipoint), що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано Аррандом[en] і Гамільтоном із представленням у вигляді Комплексних чисел і згодом при введені понять кватерніонів і бікватерніонів.[6] Вони є елементами у R2, R4, і R8; ставлення до них як до лінійних комбінацій ввів Едмонд Лагерр[en] ще у 1867, який також дав визначення системам лінійних рівнянь.

Базис і вимір[ред.ред. код]

Докладніше: Базис
Вектор v із множини R2 (синім) заданий за допомогою різних базисів: із використанням стандартного базису для R2 v = xe1 + ye2 (чорне), і з використанням іншого, не-ортогонального базису: v = f1 + f2 (червоне).

Різні базиси дозволяють задати вектор за допомогою послідовності скалярів, що називаються координатами або компонентами вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина B = {bi}iI векторів bi, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів I, що охоплює весь простір і є лінійно незалежним. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор v можна задати як скінченну суму (що називається лінійною комбінацією) із базових елементів:

 

 

 

 

(1)

де ak це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора v відповідно до базису B, і bik (k = 1, ..., n) елементів із B. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати ak є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі.

Наприклад, вектори координат e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), до en = (0, 0, ..., 0, 1), утворюють базис із Fn, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор (x1, x2, ..., xn) може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів:

(x1, x2, ..., xn) = x1(1, 0, ..., 0) + x2(0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn(0, ..., 0, 1) = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.

Відповідні координати x1, x2, ..., xn є декартовими координатами вектора.

Кожен векторний простір має базис. Це випливає із леми Цорна, що є еквівалентним формулюванням Аксіоми вибору.[7] У інші аксіомах із теорії множин Цермело — Френкеля, існування базису також еквівалентне аксіомі вибору.[8] лема про ультрафільтр, що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або потужність (див. Теорема про вимір векторних просторів[en]).[9] Це називають розмірністю векторного простору. Якщо простір складається із нескінченної множини векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.[10]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 
  2. Bourbaki 1969, ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91
  3. Bolzano 1804
  4. Möbius 1827
  5. Crowe, Michel J. (1994). A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover. с. 11 and 16. ISBN 0-486-67910-1. 
  6. Hamilton 1853
  7. Roman 2005, Theorem 1.9, p. 43
  8. Blass 1984
  9. Halpern 1966, pp. 670–673
  10. Artin 1991, Theorem 3.3.13

Джерела[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.