Векторний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор v (синій) додається до іншого вектора w (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, w видовжений множенням на 2, показано суму v + 2w.

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Означення[ред.ред. код]

Лінійний простір над полем — це множина елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

  • бінарна операція додавання векторів:
  • унарна операція множення вектора на скаляр:

що задовільняють наступну систему аксіом[1]:

  • комутативна група відносно операції додавання векторів:
    • (комутативність додавання)
    • (асоціативність додавання)
    • (існування нульового вектора)
    • (існування протилежного вектора)
  • асоціативність та унітарність множення на скаляри:
    • (асоціативність множення на скаляри)
    • (де це одиниця поля )
  • дистрибутивність додавання і множення на скаляр:

Найпоширеніші лінійні простори над полем дійсних чисел або комплексних чисел.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле замінено на кільце . Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Джерела[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.