Векторний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовільняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Означення[ред.ред. код]

Лінійний простір над полем \mathbb{K} — це множина L \! елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

що задовільняють наступну систему аксіом[1]:

\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w} \in L

\forall \lambda,\mu\in\mathbb{K}

Найпоширеніші лінійні простори над полем \R дійсних чисел або \C комплексних чисел.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле \mathbb{K} замінено на кільце \mathbb{K}. Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Джерела[ред.ред. код]