Норма (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми[ред.ред. код]

Нормою у векторному просторі над полем називають відображення що задовольняє наступним умовам:

  1. тільки при (невід'ємність)
  2. де  — скаляр (однорідність)
  3. (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості[ред.ред. код]

За допомогою норми векторний простір одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань Зазначимо, що для будь-яких виконується метрики на векторному просторі з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли  — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми[ред.ред. код]

З геометричної точки зору, задання норми на  — це те й саме, що і задання її одиничної кулі тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору що містить нульовий вектор серед своїх внутрішніх точок.

Приклади[ред.ред. код]

Евклідова норма[ред.ред. код]

Докладніше: Евклідова норма

Нехай  — це -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на визначається за формулою де  — це стандартний скалярний добуток на Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

sup норма[ред.ред. код]

Нехай але цього разу визначимо норму за формулою (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між і

Манхетенська норма[ред.ред. код]

Нехай але цього разу визначимо норму за формулою Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом -вимірного простору полярним до -вимірного куба.

Еквівалентність норм[ред.ред. код]

Нехай  — дві норми визначені на одному і тому ж просторі . Якщо існує таке дійсне що для будь-якого то норма називається підпорядкованою нормі Якщо водночас і норма підпорядкована нормі , то такі дві норми називаються еквівалентними.

Джерела[ред.ред. код]