Нерівність Коші—Шварца (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–inequality) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.
Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.
Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.
Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).
Для довільних векторів
,
із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:
,
де
— операція скалярного добутку, а
— модуль числа.
Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:
.
Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори
,
лінійно залежні.
Лінійний простір
[ред. | ред. код]
Скалярний добуток векторів
і
означимо за формулою
,
тоді отримаємо, що для дійсних чисел
виконується нерівність

у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах.
Лінійний простір
[ред. | ред. код]
— лінійний простір неперервних на відрізку
функцій.
Скалярний добуток для функцій
означимо через
, то виконуватиметься нерівність

Для довільного
Розглянемо скалярний квадрат вектора
:
Отримуємо квадратичну нерівність
для всіх
. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант
не більший від нуля.
Звідки отримуємо
.
Лінійний простір
[ред. | ред. код]
В лінійному просторі
з введеним скалярним добутком
нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

або після зведення однакових доданків

Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі

Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського[ред. | ред. код]

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.
Математичні олімпіади[ред. | ред. код]
На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору
:
для додатних дійсних

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти
.
Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:
з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.
- Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.
- В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0.