Нерівність Коші — Буняковського

Нерівність Коші—Буняковського (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.

Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.

Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.

Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).

Формулювання

Загальний випадок

Для довільних векторів $\ x$$\ x$, $\ y$$\ y$ із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$,

де $\langle \cdot ,\cdot \rangle$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — операція скалярного добутку, а $\ |\cdot |$$\ |\cdot |$ — модуль числа.

Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$.

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори $\ x$$\ x$, $\ y$$\ y$ лінійно залежні.

Часткові випадки

Лінійний простір $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R} ^{n}$

Скалярний добуток векторів $\ x=(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$$\ x=(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$ і $\ y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})$$\ y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})$ означимо за формулою

$\langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$$\langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел $\ x_{1},x_{2},\ldots x_{n},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}$$\ x_{1},x_{2},\ldots x_{n},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}$ виконується нерівність

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).$$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).$

у заданій формі нерівність Коші-Буняковського часто використовується на математичних олімпіадах.

Лінійний простір $\ C[a;b]$$\ C[a;b]$

$\ C[a;b]$$\ C[a;b]$ — лінійний простір неперервних на відрізку $\ C[a;b]$$\ C[a;b]$ функцій.

Скалярний добуток для функцій $\ f(x),g(x)\in C[a;b]$$\ f(x),g(x)\in C[a;b]$ означимо через

$\langle f(x),g(x)\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$$\langle f(x),g(x)\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$, то виконуватиметься нерівність

$\left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.$$\left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.$

Доведення

Загальний випадок

Для довільного $\lambda \in \mathbb {R} .$$\lambda \in \mathbb {R} .$ Розглянемо скалярний квадрат вектора $\ x+\lambda y$$\ x+\lambda y$:

$0\leq \langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle +2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle$$0\leq \langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle +2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle$

Отримуємо квадратичну нерівність $\lambda ^{2}\|y\|^{2}+2\lambda \langle x,y\rangle +\|x\|^{2}\geq 0$$\lambda ^{2}\|y\|^{2}+2\lambda \langle x,y\rangle +\|x\|^{2}\geq 0$ для всіх $\lambda \in \mathbb {R}$$\lambda \in \mathbb {R}$. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант $4\langle x,y\rangle ^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^{2}$$4\langle x,y\rangle ^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^{2}$ не більший від нуля.

Звідки отримуємо $\langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|$$\langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|$.

Частковий випадок

Лінійний простір $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R} ^{n}$

В лінійному просторі $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R} ^{n}$ з введеним скалярним добутком $\langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$$\langle x,y\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$ нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

$\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}$$\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}$

або після зведення однакових доданків

${\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.$${\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.$

Оскільки ліва чатина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Буняковського в лінійному просторі $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R} ^{n}$

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.$$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.$

Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського

Нерівність трикутника

${\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}$${\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}$

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.

Математичні олімпіади

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R} ^{n}$:

для додатніх дійсних $\ a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2}\ldots b_{n}$$\ a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2}\ldots b_{n}$

${\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.$${\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.$

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Буняковського, якщо покласти $x_{i}={\sqrt {\dfrac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}},\quad y_{i}={\sqrt {b_{i}}}$$x_{i}={\sqrt {\dfrac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}},\quad y_{i}={\sqrt {b_{i}}}$.

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

з нерівностей Коші-Буняковського і трьох квадратів отримуємо:

${\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},$${\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},$

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

Джерела

• Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир. 

• В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0. 

Дивіться також

• Скалярний добуток