Нерівність Коші — Буняковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність Коші—Буняковського (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.

Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.

Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.

Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).

Формулювання[ред.ред. код]

Загальний випадок[ред.ред. код]

Для довільних векторів , із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:

,

де  — операція скалярного добутку, а  — модуль числа.

Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:

.

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори , лінійно залежні.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Лінійний простір [ред.ред. код]

Скалярний добуток векторів і означимо за формулою

,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел виконується нерівність

у заданій формі нерівність Коші-Буняковського часто використовується на математичних олімпіадах.

Лінійний простір [ред.ред. код]

 — лінійний простір неперервних на відрізку функцій.

Скалярний добуток для функцій означимо через

, то виконуватиметься нерівність

Доведення[ред.ред. код]

Загальний випадок[ред.ред. код]

Для довільного Розглянемо скалярний квадрат вектора :

Отримуємо квадратичну нерівність для всіх . Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант не більший від нуля.

Звідки отримуємо .

Частковий випадок[ред.ред. код]

Лінійний простір [ред.ред. код]

В лінійному просторі з введеним скалярним добутком нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

або після зведення однакових доданків

Оскільки ліва чатина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Буняковського в лінійному просторі

Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського[ред.ред. код]

Нерівність трикутника[ред.ред. код]

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.

Математичні олімпіади[ред.ред. код]

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору :

для додатніх дійсних

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Буняковського, якщо покласти .

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

з нерівностей Коші-Буняковського і трьох квадратів отримуємо:

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

Джерела[ред.ред. код]

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир. 
  • В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський (2008). Лінійна алгебра. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN 978-966-613-623-0. 

Дивіться також[ред.ред. код]