Теорема Вітні про вкладення

Теорема Вітни про вкладення — затвердження дифференціальної топології, згідно якому довільно гладке $m$-вимірне багатообразність з лічильною базою допускає гладке вкладення в $m$-вимірний євклідів простір. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Наведений результат є оптимальним, коли $m$ — ступінь двійки: тоді $m$-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в $(2m-1)$-вимірний евклідів простір.

Схема доказу

Випадки $m=1$ і $m=2$ встановлюються напряму. Для доказу випадку $m\geqslant 3$, використовується факт, що гладке відображення загального положення $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$ є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.

Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки $p,q\in \mathbb {R} ^{2m}$самоперетин відображення $f$ маючи різні знаки. Візьмемо крапки $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$, для яких $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ і $f(x_{q})=f(y_{q})=q$. З'єднаємо $x_{p}$ та $x_{q}$ гладкою кривою $x\subset M$. З'єднаємо $y_{p}$ і $y_{q}$ гладкою кривою $y\subset M$. Тоді $f(x\cup y)$ є замкнута крива в $\mathbb {R} ^{2m}$. Далі побудуємо відображення $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ з границею $h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$. Загалом, $h$ є вкладенням та $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ (якраз тут використовується те, що $m\geqslant 3$). Тоді можна ізотопувати $f$ у маленькій околиці диска $h(D^{2})$ ак, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для $m=1$ (В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).

Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$. Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді це застосування цієї іншої ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку $p\in \mathbb {R} ^{2m}$самоперетину відображення $f$. Візьмемо крапки $x,y\in M$, для яких $f(x)=f(y)=p$. З'єднаємо $x$ і $y$ гладкою кривою $l\subset M$. Тоді $f(l)$ є замкнута крива в $\mathbb {R} ^{2m}$. Далі побудуємо відображення $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ з кордоном $h(\partial D^{2})=f(l)$. Загалом, $h$ є вкладенням та $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ (якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати $f$ у маленькій околиці диска $h(D^{2})$ так, щоб ця точка самоперетину зникла.

Варіації та Узагальнення

Нехай $M$ є гладке m-вимірне різноманіття, де $m>1$:

• Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення $M$ в $\mathbb {R} ^{2m-1}$.
• $M$ може бути занурене в $\mathbb {R} ^{2m-1}$.
  • Більше того $M$ може бути занурене в $\mathbb {R} ^{2m-a}$, де $a$ є число одиниць у двійковому представлені числа $m$.
    • Останній результат є оптимальним: для будь-якого $m$ можна можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в $\mathbb {R} ^{2m-a-1}$.
• Теорема Мостоу — Паласа даёт эквиваринтный вариант теоремы Уитни о вложении.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes., 347 (2): 248—342
• класифікація вкладень (англ.)