Теорема Вітні про вкладення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Вітні про вкладення стверджує:

Довільний гладкий -вимірний різновид дозволяє гладке вкладення у -вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, якщо, наприклад,  — степінь двійки, то -вимірний проективний простір неможливо вкласти в -вимірний евклідів простір.

Про доведення[ред.ред. код]

Випадки і «робляться руками». У випадку легко бачити, що гладке відображення загального положення є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні.

Трюк Вітні[ред.ред. код]

Нехай є точкою самоперетину і такі, що . З'єднаємо та гладою кривою Тоді є замкнутою кривою в . Побудуємо відображення з границею .

У загальному положенні є вкладення (саме тут ми використовуємо те, що ).

Тоді можна продеформувати многовид вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

Література[ред.ред. код]