Теорема Вітні про вкладення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Вітні про вкладення стверджує:

Довільний гладкий m-вимірний різновид дозволяє гладке вкладення у 2m-вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, якщо, наприклад, m — степінь двійки, то m-вимірний проективний простір неможливо вкласти в (2m-1)-вимірний евклідів простір.

Про доведення[ред.ред. код]

Випадки m=1 і m=2 «робляться руками». У випадку m\geqslant 3 легко бачити, що гладке відображення загального положення f\colon M\to\R^{2m} є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні.

Трюк Вітні[ред.ред. код]

Нехай p\in\R^{2m} є точкою самоперетину і x,y\in M такі, що f(x)=f(y)=p. З'єднаємо x та y гладою кривою c\colon[0,1]\to M. Тоді f\circ c є замкнутою кривою в \R^{2m}. Побудуємо відображення h\colon D^2\to\R^{2m} з границею f\circ c.

У загальному положенні h є вкладення (саме тут ми використовуємо те, що m\geqslant 3).

Тоді можна продеформувати многовид M вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

Література[ред.ред. код]