Граничний цикл

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Хопфа.

Визначення

Перший приклад (нестікого) граничного циклу (Пуанкаре, 1882).

Стійкий граничний цикл в системі Ван дер Поля ($\mu =1$).

Напівстійкий граничний цикл.

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

${\dot {x}}=f(x),$

де $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ гладка функція. Розв'язок цієї системи $x(t)$ заданий гладкою функцією $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами $x(0)=x_{0}\in \mathbb {R} ^{2}$, є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час $\tau >0$ після якого система повертається до початкової точки ($\forall t\in \mathbb {R} .~x(t+\tau )=x(t)$).

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при $t\rightarrow \infty$ або при $t\rightarrow -\infty$. Граничний цикл називається:

• Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\rightarrow \infty$.
• Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\rightarrow -\infty$.
• Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при $t\rightarrow \infty$ з одного боку та при $t\rightarrow -\infty$ з іншого, або навпаки.

Приклади

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи  :

${\dot {x}}=x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1),$

${\dot {y}}=y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2}+y^{2}+1).$

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння $x^{2}+y^{2}=1$. На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

${\dot {x}}=y,$

${\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x,$

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання $\mu >0$) який не має алгебричного виразу.

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

${\dot {x}}=-y+x(-1+x^{2}+y^{2})^{2},$

${\dot {y}}=x+y(-1+x^{2}+y^{2})^{2}.$

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми

Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта.

Див. також

• Гранична точка
• Гранична множина
• Атрактор
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Критерій Бендиксона — Дюлака

Література

Лекції

• Limit cycles Лекція MIT. (англ.)
• Limit cycles Відео лекція MIT. (англ.)

Підручники

• Cristopher, Colin; Li, Chengzhi (2007). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8409-8. (англ.)
• Ye, Yan-Qian; Lo, Chi Y (1986). Theory of Limit Cycles (Translations of Mathematical Monographs). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4773-2. {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка) (англ.)
• Bogoliubov, N.; Mitropolsky, Y. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon & Breach. ISBN 978-0677200507. (англ.)