Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — рівняння вигляду

$F\left(t,x,x',x'',...,x^{(n)}\right) = 0,$

де $x = x(t)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

$G(x,t) =0$,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь

Вводячи змінні $x_1 = x'$, $x_2 = x''$, $x^{(n-1)} = x_{n-1}$, звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

$\left\{ \begin{matrix} F\left(t,x, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, \frac{dx_{n-1}}{dt}\right) = 0, \\ \frac{dx}{dt} = x_1, \\ \frac{dx_1}{dt} = x_2, \\ \ldots \\ \frac{dx_{n-2}}{dt} = x_{n-1}. \end{matrix} \right.$

Методи розв'язанння

Чисельні

• Метод Ейлера
• Метод Рунге-Кутти
• Метод Адамса

Дивіться також

• Задача Коші
• Крайова задача

Джерела

• Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука.