Стала Гельфонда–Шнайдера

Не плутати з константою Гельфонда

Стала Гельфонда–Шнайдера або число Гільберта дорівнює двійці у степені квадратного кореня з двох:

$2^{\sqrt {2}}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots$

Трансцендентність цього числа була доведена Р.О. Кузьміним у 1930 році. У 1934 році Олександр Гельфонд і Теодор Шнайдер незалежно один від одного довели більш загальну теорему Гельфонда–Шнайдера, яка вирішила частину сьомої проблеми Гільберта, описаної нижче.

Властивості

Квадратний корінь зі сталої Гельфонда–Шнайдера є трансцендентним числом:

${\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}63252691943815284477\ldots \,.$

Цю ж саму сталу можна використати для доведення, що ``ірраціональна степінь ірраціонального числа може бути раціональним числом, навіть без попереднього доведення трансцендентності $2^{\sqrt {2}}$. Доведення наступне: або число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ є раціональним, що доводить теорему, або воно є ірраціональним (як виявляється), і тоді число

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$

є ірраціональним числом в ірраціональному степені, а отже, є раціональним, що й доводить теорему. Доведення не є конструктивним , оскільки не вказує, який із двох випадків вірний, але воно набагато простіше, ніж доведення Р. Кузьміна.

Сьома проблема Гільберта

Частина сьомої з двадцяти трьох проблем Гільберта, поставлених у 1900 році, полягала в тому, щоб довести або знайти контрприклад до твердження, що вираз $a^{b}$ завжди є трансцендентним для алгебраїчної сталої $a\neq 0,1$ та ірраціональної алгебраїчної сталої $a^{b}$. У своїй промові він навів два явних приклади, один із яких – стала Гельфонда–Шнайдера $2^{\sqrt {2}}$.

У 1919 році він прочитав лекцію з теорії чисел і розповів про три припущення: гіпотезу Рімана, останню теорему Ферма та трансцендентність $2^{\sqrt {2}}$. Він зазначив аудиторії, що не сподівався, що хтось із присутніх у залі проживе достатньо довго, щоб побачити доведення цього результату. Але доказ трансцендентності цього числа був опублікований Р. Кузьміним у 1930 році, ще за життя Д. Гільберта. А саме, Р. Кузьмін довів випадок, коли показник степеня $b$ є дійсним квадратичним ірраціональним числом, який пізніше був розширений до довільного алгебраїчного ірраціонального числа $b$ Гельфондом і Шнайдером.

Див. також

• константою Гельфонда

Додаткова література

• Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001.
• Tijdeman, Robert (1976). On the Gel'fond–Baker method and its applications. У Felix E. Browder (ред.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Т. XXVIII.1. American Mathematical Society. с. 241—268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.