Піднесення до степеня

Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як $\ a^n,$ для основи степеня $\ a$ та показника степеня $\ n,$ в результаті застосування отримується степінь.

Якщо n — натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.$

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

$a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.$.

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом. Першим степенем числа називають сам е число, наприклад 7¹ = 7^*.

Від'ємні показники

$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

Раціональні показники

Число $y = x^{p/q} \,$, де p і q - цілі числа, якщо $y^q = x^p \,$.

Наприклад, $x^{1/2}$ - це число, яке дорівнює квадратному кореню числа $x$.

Дійсні показники

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

$a = \lim_{n\rightarrow\infty} a_n$

де $a_n$ - раціональні числа, то

$x^a = \lim_{n\rightarrow\infty} x^{a_n}$.

Дії зі степенями

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями:

1. При перемножуванні двох або більше різних степеней з однаковими основами показники степеня додаються

$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}$

3. При піднесені числа в якійсь степені до іншої степені показники перемножуються.

$\left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}$

4. При піднесенні будь-якого числа(окрім нуля) в степінь з показником 0 одержуємо 1, так $3^0 =1$

5. При піднесенні числа в степінь з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатнім степенем. Таким чином $3^{-4}=\frac{1}{3^4}$. Аналогічно $\frac{1}{2^{-4}}=2^4$

6. При піднесенні числа в дробову степінь знаменних цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

$8^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{8^{2}}=(2)^2=4$

Функції

• Експонента
• Степенева функція
• Многочлен

В комбінаториці

В комбінаториці, кількість можливих розміщень з повтореннями із n елементів по m дорівнює n^m:

$\hat P (n, m) = n^m$

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти $\hat P (4, 3) = 4^3 = 64$ тризначних числа.

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT

Джерела

1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». .
2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI",2008. - 544 с.
3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Дивіться також

• Логарифм
• Експонента