Піднесення до степеня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Результати обчислення
Додавання (+)
доданок + доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
множник × множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореняпідкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як \ a^n, для основи степеня \ a та показника степеня \ n, в результаті застосування отримується степінь.[1]

Якщо nнатуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n..

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 71 = 7*.

Від'ємні показники[ред.ред. код]

 x^{-n} = \frac{1}{x^n}

Раціональні показники[ред.ред. код]

Число  y = x^{p/q} \, , де p і q - цілі числа, якщо  y^q = x^p \, .

Наприклад,  x^{1/2} - це число, яке дорівнює квадратному кореню числа  x .

Дійсні показники[ред.ред. код]

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

 a = \lim_{n\rightarrow\infty} a_n

де  a_n - раціональні числа, то

 x^a = \lim_{n\rightarrow\infty} x^{a_n} .

Дії зі степенями[ред.ред. код]

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями[2]:

1. При перемножуванні двох або більше різних степеней з однаковими основами показники степеня додаються

 x^a \cdot x^b = x^{a+b}

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}

3. При піднесені числа в якійсь степені до іншої степені показники перемножуються.

 \left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}

4. При піднесенні будь-якого числа(окрім нуля) в степінь з показником 0 одержуємо 1, так 3^0 =1

5. При піднесенні числа в степінь з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатнім степенем. Таким чином 3^{-4}=\frac{1}{3^4} . Аналогічно \frac{1}{2^{-4}}=2^4

6. При піднесенні числа в дробову степінь знаменних цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

8^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{8^{2}}=(2)^2=4

Функції[ред.ред. код]

В комбінаториці[ред.ред. код]

Докладніше: Розміщення

В комбінаториці, кількість можливих розміщень з повтореннями із n елементів по m дорівнює nm:[3]

\hat P (n, m) = n^m

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти \hat P (4, 3) = 4^3 = 64 тризначних числа.

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». .
  2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI",2008. - 544 с.
  3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Примітки[ред.ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». 
  2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник - С. 27
  3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Дивіться також[ред.ред. код]