Проблеми Гільберта
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Проблеми Гільберта — список з 23 кардинальних проблем математики, представлений Давидом Гільбертом на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі у 1900 році. Тоді ці проблеми (які охоплювали основи математики, алгебру, теорію чисел, геометрію, топологію, алгебраїчну геометрію, групи Лі, дійсний і комплексний аналіз, диференціальні рівняння, математичну фізику і теорію імовірностей, а також варіаційне числення) не були розв'язані. На даний момент розв'язані 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчасто, щоб зрозуміти, розв'язана вона чи ні, інша, далека від розв'язання, — фізична, а не математична). З 5 проблем, що залишилися, дві не розв'язані ніяк, а три розв'язані тільки для часткових випадків.
Зміст |
[ред.] Список проблем
| 1 | нема консенсусу[1] | Проблема Кантора про потужність континууму (Континуум-гіпотеза) |
| 2 | нема консенсусу[2] | Несуперечливість аксіом арифметики. |
| 3 | розв'язана | Рівноскладеність рівновеликих многогранників |
| 4 | занадто розпливчаста[3] | Перерахувати метрики, у яких прямі є геодезичними |
| 5 | розв'язана | Чи всі неперервні групи є групами Лі? |
| 6 | не математична | Математичний виклад аксіом фізики |
| 7 | розв'язана | Довести, що число  є трансцендентним (або хоча би ірраціональним). [4] |
| 8 | відкрита[5] | Проблема простих чисел (гіпотеза Рімана і проблема Гольдбаха) |
| 9 | частково розв'язана[6] | Доведення найбільш загального закону взаємності в будь-якому числовому полі |
| 10 | розв'язана[7] | Задача про можливість розв'язання діофантових рівнянь |
| 11 | розв'язана | Вивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами |
| 12 | відкрита | Поширення теореми Кронекера про абелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності |
| 13 | розв'язана | Неможливість розв'язання загального рівняння сьомого степеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох змінних |
| 14 | розв'язана | Доведення скінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи[8] |
| 15 | частково розв'язана | Строге обґрунтування обчислювальної геометрії Шуберта |
| 16 | частково розв'язана[9] | Топологія алгебраїчних кривих і поверхонь[10] |
| 17 | розв'язана | Представлення визначених форм у вигляді суми квадратів |
| 18 | розв'язана[11][12] | Скінченність числа кристалографічних груп; нерегулярні заповнення простору конгруентними многогранниками; найбільш щільне упакування куль |
| 19 | розв'язана | Чи завжди розв'язки регулярної варіаційної задачі Лагранжа є аналітичними? |
| 20 | розв'язана | Загальна задача про граничні умови (?) |
| 21 | розв'язана | Доведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромії |
| 22 | розв'язана | Уніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфних функцій |
| 23 | розв'язана | Розвиток методів варіаційного числення |
[ред.] Виноски
- ↑ Результати Геделя і Коена (Cohen) показують, що ні континуум-гіпотеза, ні її заперечення не суперечить системі аксіом Цермело-Френкеля (стандартній системі аксіом теорії множин). Таким чином, континуум-гіпотезу в цій системі аксіом неможливо ні довести, ні спростувати. Ведуться суперечки про те, чи є результат Коена повним розв'язком задачі
- ↑ курт Гедель довів, що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики
- ↑ Згідно Рову (Rowe) і Грею (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». Ров і Грей говорять про четверту проблему як про таку, яка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, розв'язана вона, чи ні.
- ↑ Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у більш загальному вигляді: якщо а ≠ 0, 1 — алгебраїчне число, і b — алгебраїчне, але ірраціональне, то ab — трансцендентне число
- ↑ Проблема № 8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються нерозв'язаними. Перша з них, Гіпотеза Рімана, є однією із семи проблем тисячоліття, що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття
- ↑ Проблема № 9 була розв'язана для абелевого випадку; неабелевий випадок залишається нерозв'язаним
- ↑ Юрій Матіясевич у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне діофантове рівняння розв'язним
- ↑ Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В.Л. Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.
- ↑ Перша (алгебраїчна) частина проблеми № 16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують — їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані — див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів — невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем — для чого кожному з них довелося написати по книзі
- ↑ Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen»(нім.). Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з англійського перекладу тексту анонса(англ.)), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.
- ↑ Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400—412.
- ↑ Рів і Грій також називають проблему № 18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як задача Кеплера) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми № 16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.
[ред.] 24-а проблема
Спочатку список містив 24 проблеми, але в процесі підготовки до доповіді Гільберт відмовився від однієї з них. Ця 24-а проблема була пов'язана з теорією доведень критерію простоти і загальних методів. Дана проблема була виявлена завдяки Rudiger Thiele.[Джерело?]
[ред.] Див. також
- Гіпотеза Рімана
- Континуум-гіпотеза
- Проблема Гольдбаха
- Діофантові рівняння
- Проблеми тисячоліття
- Проблеми Ландау
- Відкриті математичні проблеми
[ред.] Література
- Оригінальний текст на німецькій доповіді Гільберта
- Російський переклад доповіді Гільберта (вступна частина і висновок)
- Проблеми Гільберта, Збірник за редакцією п.С. Александрова, М., Наука, 1969 р., 240 с.
- А. А. Болибрух, «Проблеми Гільберта (100 років спустя)»
- До конференції 2000 року «Математика і її додатки» бібліотека МГТУ ім.Н.Э.Баумана підготувала виставку «Проблеми Гільберта», також список праць Д. Гільберта
- Ляшко С.І., Номіровский Д.А., Петунін Ю.І., Семенов В.В. Двадцята проблема Гільберта. Узагальнені рішення операторних рівнянь. — М.: Діалектика, 2009. — С. 192. ISBN 978-5-8459-1524-5
