Трансцендентне число

Трансцендентні числа — це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Перші трансцендентні числа було сконструйовано Ліувіллєм за допомогою діофантових наближеннь. Незабаром, Ерміт довів трансцендентність числа e, a Ліндеманн — числа пі. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

Властивості

• Множина трансцендентних чисел континуальна.
• Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне невірно. Наприклад, число $\sqrt 2$ — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена $x^2-2$.

Приклади

• Основа натуральних логарифмів — число e
• Число π.
• Десятковий логарифм будь-якого цілого числа, окрім чисел 10ⁿ
• Синус, косинус, тангенс будь-якого ненульового алгебраїчного числа а (згідно з теоремою Лінденманна — Вейерштрасса).

Історія

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа e (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеманн довів теорему про трансцендентність степеня числа e з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа π і нерозв'язність завдання квадратури круга.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо а ≠ 0, а— алгебраїчне число і b — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що a^b — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число $2^\sqrt 2$. Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом (en:Alexander Gelfond), який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

Література

• Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Фельдман Н., Алгебраические и трансцендентные числа(рос.), Квант, № 7, 1983.