Трансцендентне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Трансцендентні числа — це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Перші трансцендентні числа було сконструйовано Ліувіллєм за допомогою діофантових наближеннь. Незабаром, Ерміт довів трансцендентність числа e, a Ліндеманнчисла пі. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина трансцендентних чисел континуальна.
  • Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне невірно. Наприклад, число \sqrt 2 — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена x^2-2.

Приклади[ред.ред. код]

Історія[ред.ред. код]

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа e (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеманн довів теорему про трансцендентність степеня числа e з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа π і нерозв'язність завдання квадратури круга.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо а ≠ 0, а— алгебраїчне число і b — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що ab — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число 2^\sqrt 2. Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом (en:Alexander Gelfond), який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

Література[ред.ред. код]

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність