Теорема Адамара — Картана: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію |
Binc (обговорення | внесок) Коректура, посилання, доповнення |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
У математиці '''теорема |
У математиці '''теорема Картана''' '''— Адамара''' — це твердження в [[ріманова геометрія|рімановій геометрії]] щодо структури повних [[ріманів многовид|ріманових многовидів]] недодатної [[секційна кривина|секційної кривини]]. Теорема стверджує, що [[накриття (топологія)|універсальне покриття]] такого різноманіття [[дифеоморфізм|дифеоморфне]] [[евклідів простір|евклідовому простору]] через [[експоненційне відображення|експоненціальне відображення]] в будь-якій точці. Вперше це довів {{Не перекладено|Ганс Карл Фрідріх фон Мангольдт|Ганс Карл Фрідріх фон Мангольдт|en}} для [[поверхня|поверхонь]] у 1881 році та незалежно [[Жак Соломон Адамар|Жак Адамар]] у 1898 році. [[Елі Жозеф Картан|Елі Картан]] узагальнив теорему на ріманові многовиди у 1928 році. Далі теорема була узагальнена на широкий клас [[метричний простір|метричних просторів]] [[Громов Михайло Леонідович|Михайлом Громовим]] у 1987 році; докладні докази були опубліковані Баллманом (1990)<ref>{{Cite book |
||
|url=https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9167-8_10 |
|||
|title=Singular Spaces of Non-Positive Curvature |
|||
|last=Ballmann |
|||
|first=Werner |
|||
|date=1990 |
|||
|editor-last=Ghys |
|||
|editor-first=Etienne |
|||
|editor2-last=de la Harpe |
|||
|editor2-first=Pierre |
|||
|series=Sur les Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov |
|||
|publisher=Birkhäuser |
|||
|location=Boston, MA |
|||
|pages=189–201 |
|||
|language=en |
|||
|doi=10.1007/978-1-4684-9167-8_10 |
|||
|isbn=978-1-4684-9167-8 |
|||
}}</ref> для метричних просторів неподатної кривини та Александером і Бішопом (1990)<ref>{{Cite web|url=https://doi.org/10.5169/seals-57911|title=THE HADAMARD-CARTAN THEOREM IN LOCALLY CONVEX METRIC SPACES|last=Zuerich|first=ETH-Bibliothek|website=E-Periodica|language=de|accessdate=2024-02-26}}</ref> для загальних локально опуклих метричних просторів. |
|||
== Формулювання == |
== Формулювання == |
||
Теорема Картана — Адамара стверджує, що [[Накриття (топологія)|простір універсального накриття]] зв'язаного повного ріманова многовиду недодатної [[Секційна кривина|секційної кривини]] діффеоморфне евклидовому простору. |
Теорема Картана — Адамара стверджує, що [[Накриття (топологія)|простір універсального накриття]] зв'язаного повного ріманова многовиду недодатної [[Секційна кривина|секційної кривини]] діффеоморфне евклидовому простору. Щобільше, [[експоненційне відображення]] в будь-якій точці є [[Дифеоморфізм|дифеоморфізмом]]. |
||
==Значимість== |
== Значимість == |
||
Теорема |
Теорема Картана — Адамара надає приклад локально-глобальної відповідності в римановій і метричній геометрії: а саме, локальна умова (недодатна кривина) і глобальна умова (проста зв'язність) разом означають сильну глобальну властивість (скорочуваність).); або в рімановому випадку дифеоморфізм з ''R'''<sup>n</sup>. |
||
Метрична форма теореми демонструє, що багатогранний комірковий комплекс з не додатною кривою є [[Асферичний простір|асферичним]]. Цей факт має вирішальне значення для сучасної [[геометрична теорія груп|геометричної теорії груп]]. |
Метрична форма теореми демонструє, що багатогранний комірковий комплекс з не додатною кривою є [[Асферичний простір|асферичним]]. Цей факт має вирішальне значення для сучасної [[геометрична теорія груп|геометричної теорії груп]]. |
||
Версія за 09:12, 26 лютого 2024
У математиці теорема Картана — Адамара — це твердження в рімановій геометрії щодо структури повних ріманових многовидів недодатної секційної кривини. Теорема стверджує, що універсальне покриття такого різноманіття дифеоморфне евклідовому простору через експоненціальне відображення в будь-якій точці. Вперше це довів Ганс Карл Фрідріх фон Мангольдт[en] для поверхонь у 1881 році та незалежно Жак Адамар у 1898 році. Елі Картан узагальнив теорему на ріманові многовиди у 1928 році. Далі теорема була узагальнена на широкий клас метричних просторів Михайлом Громовим у 1987 році; докладні докази були опубліковані Баллманом (1990)[1] для метричних просторів неподатної кривини та Александером і Бішопом (1990)[2] для загальних локально опуклих метричних просторів.
Формулювання
Теорема Картана — Адамара стверджує, що простір універсального накриття зв'язаного повного ріманова многовиду недодатної секційної кривини діффеоморфне евклидовому простору. Щобільше, експоненційне відображення в будь-якій точці є дифеоморфізмом.
Значимість
Теорема Картана — Адамара надає приклад локально-глобальної відповідності в римановій і метричній геометрії: а саме, локальна умова (недодатна кривина) і глобальна умова (проста зв'язність) разом означають сильну глобальну властивість (скорочуваність).); або в рімановому випадку дифеоморфізм з R'n.
Метрична форма теореми демонструє, що багатогранний комірковий комплекс з не додатною кривою є асферичним. Цей факт має вирішальне значення для сучасної геометричної теорії груп.
Примітки
- ↑ Ballmann, Werner (1990). Ghys, Etienne; de la Harpe, Pierre (ред.). Singular Spaces of Non-Positive Curvature. Sur les Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov (англ.). Boston, MA: Birkhäuser. с. 189—201. doi:10.1007/978-1-4684-9167-8_10. ISBN 978-1-4684-9167-8.
- ↑ Zuerich, ETH-Bibliothek. THE HADAMARD-CARTAN THEOREM IN LOCALLY CONVEX METRIC SPACES. E-Periodica (нім.). Процитовано 26 лютого 2024.