Вторинне квантування ферміонів

Вторинне квантування ферміонів  — математичний метод опису системи частинок, що складається із ферміонів. В представленні чисел заповнення автоматично враховується властивість тотожності частинок та необхідна симетрія хвильової функції відносно перестановок частинок.

Як відомо, для системи ферміонів справедливий принцип Паулі, згідно з яким у кожному одночастинковому стані не може перебувати більш ніж один ферміон. Дослідження системи однакових ферміонів можна почати з найпростішого випадку системи, яка містить $N$ ферміонів малої енергії, що не взаємодіють між собою.

Припустимо, що стан руху окремого ферміона в деякому зовнішньому полі, яке породжується іншими частинками, (наприклад, атомними ядрами в атомах чи молекулах), визначається оператором Гамільтона $H(\xi )\$, де $\xi \$- сукупність просторовох та спінових змінних. Нехай $\epsilon _{s}\$ та $\phi _{s}(\xi )-\$ відповідно власні значення та власні функції оператора $H(\xi )\$. Індекс $s\$ характеризує всі квантові числа, які визначають одночастинкові стани. Повний гамільтоніан в координатному представленні буде:

$H(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})=\sum _{i=1}^{N}H(\xi _{i})$.

Хвильова функція в тому ж представленні є антисиметричною функцією $\psi (\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$, яка залежить від $4N$ змінних, $\xi _{i}\$- сукупність просторових та спінових змінних $i-$ ї частинки.

В представленні чисел заповнення стан системи визначається вказуванням числа частинок у кожному одночастинковому стані. Нехай оператор числа частинок в стані ${\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}\$ має вигляд:

${\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}\$.

Для того, щоб цей оператор описував стани системи ферміонів, він повинен згідно з принципом Паулі мати тільки два власні значення: 0 та 1. Тому в представленні чисел заповнення ермітовий оператор ${\hat {n}}_{s}\$ зображається діагональною матрицею

${\hat {n}}_{s}=\alpha _{s}^{+}\alpha _{s}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\$.

Необхідно відзначити, що оператор числа частинок в системі бозонів визначався нескінченною матрицею, а дві власні функції оператора числа частинок, які належать відповідно до власних значень 0 та 1, мають вигляд:

$|0>={1 \choose 0}$

$|1>={0 \choose 1}$

Можна припустити, що оператор $\alpha _{s}\$ є оператором зменшення числа частинок в стані $s\$ на одиницю, тоді як за визначенням:

$\alpha _{s}|0>=0\$

$\alpha _{s}|1>=|0>\$.

Таким чином, в представленні з діагональним оператором ${\hat {n}}_{s}\$ оператор $\alpha _{s}\$ визначається неермітовою матрицею:

$\alpha _{s}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\$,

а ермітово спряжений оператор до $\alpha _{s}\$:

$\alpha _{s}^{+}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\$

має таку властивість, що:

$\alpha _{s}^{+}|0>=|1>\$

$\alpha _{s}^{+}|1>=0\$,

з чого випливає, що оператор $\alpha _{s}^{+}\$ збільшує на одиницю число частинок в стані $\alpha _{s}\$, якщо в цьому стані не було частинок, і перетворює в нуль функцію, яка відповідає стану $s\$ з одною частинкою. Із цих визначень випливають перестановочні співвідношення для введених операторів, які ми будемо називати «фермі-операторами»:

$\left\{\alpha _{s},\alpha _{s}\right\}=\left\{\alpha _{s}^{+},\alpha _{s}^{+}\right\}=0,\left\{\alpha _{s},\alpha _{s}^{+}\right\}=1,\$

де фігурні дужки використовуються для позначення антикомутатора двох операторів:

$\left\{\alpha ,\beta \right\}=\alpha \beta +\beta \alpha .\$

Порядок розташування операторів в антикомутаторі не має значення, $\left\{\alpha ,\beta \right\}=\left\{\beta ,\alpha \right\}\$, тому дія операторів $\alpha _{s}\$ та $\alpha _{s}^{+}\$ може бути оберненою.

Оператори $\alpha _{s}^{+}\$ та $\alpha _{s}\$ визначаються приведеними вище матрицями не повністю. Необхідно ще вказати зв'язок цих операторів з операторами $\alpha _{s1}^{+}\$ та $\alpha _{s1}\$ для інших станів. Можна вважати, за аналогією з випадком Бозе-частинок, що співвідношення типу ${\alpha _{s},\alpha _{l}}=0\$ виконуються для всіх операторів, крім операторів $\alpha _{s}^{+}\$ та $\alpha _{s}\$ (для кожного стану $s\$), для якого ${\alpha _{s},\alpha _{s}^{+}}=1\$. Іншими словами, необхідно вимагати, щоб оператори $\alpha _{s1},\alpha _{s2},...\$ задовольняли умови:

$\left\{\alpha _{s},\alpha _{l}\right\}=\left\{\alpha _{s}^{+},\alpha _{l}^{+}\right\}=0,\left\{\alpha _{s},\alpha _{l}^{+}\right\}=\delta _{sl},\$

де

$\delta _{sl}={\begin{cases},0&s\neq l\\1,&s=l\end{cases}}$-

символ Кронекера. Подібні співвідношення приводять до правильного опису систем ферміонів.

Історія

Вперше операторний метод розгляду квантових систем з великою кількістю однакових частинок був запропонований Діраком в 1927 році.

Широку популярність даний метод отримав після того, як Боголюбов в 1958 році використав його для презентації формальної моделі Бардіна-Купера-Шріффера для опису процесів надпровідності.

В 1989 році Якимаха використав цей метод для опису квантових явищ в МДН-транзисторах, які працюють в режимах сильної та надсильної інверсії.

Слід відзначити, що повний метод використання формалізму Дірака в квантовій механіці здійснив Вільям Луїзелл в 1973 році (за допомогою використання віртуальних LC — контурів). В рамках даного методу опису квантових явищ можна зрозуміти всі процеси, що протікають в мікроскопічних об'єктах природи. Слід також відзначити, що це перша книга з квантової механіки, написана в Міжнародній системі величин (ISQ) .

Можливе майбутнє

Операторний формалізм Дірака-...- Луїзелла претендує на альтернативний опис "Квантової електродинаміки" (кому подобається - "Квантової теорії поля", з елементарними частками включно). На сьогодні він широко використовується в квантовому комп'ютінгу (завдяки Деворету).

Див. також

• Вторинне квантування

Література

• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.
• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М. : Наука, 1986. — 320 с.
• Ван Хьеу Н. Основы метода вторичного квантования. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. — К. : Наукова думка, 1989. — 864 с.
• Боголюбов Н.Н., Толмачев Д.В. и Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. — М. : Изд. АН СССР, 1958.
• Румер Ю.Б.,Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — М. : Изд. Наука, 1977. — 552 с.
• Якимаха А.Л. Высокотемпературные квантовые гальваномагнитные эффекты в двумерных инверсионных слоях МДП- транзисторов. — К. : Вища школа, 1989. — 91 с.
• Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. — New York : Wiley, 1973. — 528 с.
• Петрина Д.Я. Квантовая теория поля. — К. : Вища школа, 1984. — 248 с.
• Mishel H. Devoret. Quantum fluctuation in Electrical Circuits. Course 10. — Amsterdam. : Elsevier Science, 1997. — 351-386 с.