Гамільтоніан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гамільтоніан — оператор енергії в квантовій механіці.

Зміст

1 Значення
2 Побудова
3 Часткові випадки
4 Властивості
5 Джерела

[ред.] Значення

Оператор енергії чи гамільтоніан — найважливіший із усіх операторів квантової механіки. Саме він входить в основне рівняння еволюції квантовомеханічної системи — рівняння Шредінгера.

Спектр гамільтоніану визначає можливі значення енергій квантовомеханічної системи, а його власні функції — можливі хвильові функції стаціонарних станів.

[ред.] Побудова

Для побудови гамільтоніану виходять із класичної функції Гамільтона $\mathcal{H}(p_i, q_i, t)$ , замінюючи в ній імпульси $p i$ на оператори імпульсу $-i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}$ .

Наприклад, для класичного гармонійного осцилятора.

$\mathcal{H}(p,x) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2 x^2$ ,

де $x$ — координата, $p$ — імпульс, а $ω 0$ — частота осцилятора.

Тоді гамільтоніан гармонійного осцилятора матиме наступний вигляд:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2} \frac{d}{dx^2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 x^2$ .

[ред.] Часткові випадки

Для вільної частки масою m в тривимірному просторі гамільтоніан дорівнює

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta$ ,

де Δ - оператор Лапласа.

Для частки масою m в тривимірному просторі в полі потенціалу $V(\mathbf{r})$ :

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r})$

Для електрона в полі електростатичного потенціалу $\varphi(\mathbf{r})$

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta - e\varphi(\mathbf{r})$

[ред.] Властивості

Гамільтоніан - Ермітів оператор, і внаслідок цього його власні значення дійсні, тобто енергія квантомеханічного стану - дійсна величина.

Спектр гамільтоніану може бути дискретним чи неперервним.

Відповідно, власні функції гамільтоніану можуть спадати на нескінченості, утворюючи локалізовані стани або ж вести себе як необмежена хвиля, утворюючи делокалізовані стани.

Гамільтоніан системи багатьох часток повністю симетричний відносно координат цих часток (див. принцип нерозрізнюваності часток).

[ред.] Джерела

І. Р. Юхновський. Основи квантової механіки (2002), Київ: Либідь.

Гамільтоніан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Значення

[ред.] Побудова

[ред.] Часткові випадки

[ред.] Властивості

[ред.] Джерела

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами