Дужки Пуассона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

 \{\varphi, g\} = \sum_i^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i} 
 \right),

де  \varphi й g - будь які функції узагальнених координат qi та узагальнених імпульсів pi, N - кількість ступенів свободи системи.


Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

[ред.] Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

{f,g} = − {f,g}
f + βg,h} = α{f,g} + β{f,g}
\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\}
{fg,h} = {f,h}g + f{g,h}
{f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень - тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних Q1,...,PN

 \{\varphi, g\} = \sum_i^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i} 
 \right),

Якщо одна з функцій співпадає з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

\{f,q_i \} = \frac{\partial f}{\partial p_i}
\{p_i ,g \} = \frac{\partial g}{\partial q_i}

Якщо замінити і другу фунцію

{qj,qi} = {pj,pi} = 0
{pj,qi} = δji

Останні три тотожності - умова канонічності набору змінних q1,...,pN

Кожен інтеграл руху ψ повинен задовільняти рівнянню

 \frac{\partial \psi}{\partial t} + 
\{ \psi , H \} = 0 .


У випадку, коли ψ не залежить від часу явно,

{H,ψ} = 0

Зокрема, з огляду на теорему Ліувіля густина станів у фазовому просторі ρ повинна задовільняти рівнянню Ліувіля

 \frac{\partial \rho}{\partial t} + 
\{ \rho , H \} = 0 .

[ред.] Дивись також

[ред.] Джерела

  • Федорченко А.М.. Теоретична механіка (1975), Київ: Вища школа., 516 с.
Особисті інструменти