Дужки Пуассона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

 \{\varphi, g\} = \sum_{i=1}^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i} 
 \right),

де  \varphi й  g  — будь які функції узагальнених координат  q_i та узагальнених імпульсів  p_i ,  N  — кількість ступенів свободи системи.


Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості[ред.ред. код]

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

\{f,g \} = - \{g,f \}
\{\alpha f + \beta g, h\} = \alpha \{f,h \}  + \beta \{ g,h\}
\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\}
\{fg,h \} = \{f,h \} g + f \{g,h \}
\{f, \{g,h \} \} + \{g, \{h,f \} \} + \{h, \{f,g \} \}= 0  — тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних Q_1,...,P_N

 \{\varphi, g\} = \sum_i^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i} 
 \right),

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

\{f,q_i \} = \frac{\partial f}{\partial p_i}
\{p_i ,g \} = \frac{\partial g}{\partial q_i}

Якщо замінити і другу фунцію

\{q_j,q_i \} = \{p_j,p_i \} = 0
\{p_j,q_i \} = \delta_{ji}

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних q_1,...,p_N

Кожен інтеграл руху  \psi повинен задовільняти рівнянню

 \frac{\partial \psi}{\partial t} + 
\{ \psi , H \} = 0 .


У випадку, коли  \psi не залежить від часу явно,

 \{ H, \psi  \} = 0

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі  \rho повинна задовільняти рівнянню Ліувілля

 \frac{\partial \rho}{\partial t} + 
\{ \rho , H \} = 0 .

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.