Дужки Пуассона

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

$\{\varphi, g\} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i} \right),$

де $\varphi$ й $g$ — будь які функції узагальнених координат $q_i$ та узагальнених імпульсів $p_i$, $N$ — кількість ступенів свободи системи.

Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

$\{f,g \} = - \{g,f \}$

$\{\alpha f + \beta g, h\} = \alpha \{f,h \} + \beta \{ g,h\}$

$\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\}$

$\{fg,h \} = \{f,h \} g + f \{g,h \}$

$\{f, \{g,h \} \} + \{g, \{h,f \} \} + \{h, \{f,g \} \}= 0$ — тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних $Q_1,...,P_N$

$\{\varphi, g\} = \sum_i^N \left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i} \right),$

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

$\{f,q_i \} = \frac{\partial f}{\partial p_i}$

$\{p_i ,g \} = \frac{\partial g}{\partial q_i}$

Якщо замінити і другу фунцію

$\{q_j,q_i \} = \{p_j,p_i \} = 0$

$\{p_j,q_i \} = \delta_{ji}$

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних $q_1,...,p_N$

Кожен інтеграл руху $\psi$ повинен задовільняти рівнянню

$\frac{\partial \psi}{\partial t} + \{ \psi , H \} = 0$.

У випадку, коли $\psi$ не залежить від часу явно,

$\{ H, \psi \} = 0$

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі $\rho$ повинна задовільняти рівнянню Ліувілля

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \{ \rho , H \} = 0$.

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Інтеграл руху

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.