Дужки Пуассона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

$\{\varphi, g\} = \sum_i^N \left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i} \right),$

де $\varphi$ й $g$ - будь які функції узагальнених координат $q i$ та узагальнених імпульсів $p i$ , $N$ - кількість ступенів свободи системи.

Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

[ред.] Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

{f, g} = - {f, g}

{α f + β g, h} = α{f, g} + β{f, g}

$\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\}$

{f g, h} = {f, h} g + f {g, h}

{f,{g, h}} + {g,{h, f}} + {h,{f, g}} = 0

— тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень - тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних $Q 1,..., P N$

$\{\varphi, g\} = \sum_i^N \left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i} \right),$