Механіка Гамільтона

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона

Функція Гамільтона $\mathcal{H}(q_i,p_i, t) \,$ визначається через узагальнені координати $q_i \,$ і узагальнені імпульси $p_i \,$ виходячи з функції Лагранжа $\mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i, t) \,$ наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

$p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}$.

Функція Гамільтона визначається згідно з

$\mathcal{H} = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \mathcal{L}$.

Після цього всі узагальнені швидкості $\dot{q}_i$ d $\mathcal{H}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

$\mathcal{H} = T + V \,$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

$\dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}$,

$\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}$.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

$\mathcal{H} = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2}{2m} +e\varphi$

де $e$ -- заряд частинки, $\varphi$ — електростатичний потенціал, $\mathbf{A}$ -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

$\mathcal{H} = c\sqrt{m^2c^2 + (\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2} +e\varphi$.

Функція Гамільтона в теорії відносності

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа $\mathcal{L}$ (див. "Механіку" Ландау):

$\mathcal{H} = \mathbf{v}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} - \mathcal{L} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

$\mathcal{H}^2 = c^2(p^2 + m^2c^2)$,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

$\mathcal{H} = c\sqrt{p^2 + mc^2}$.

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії $\hat{H}$ будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів $p_i$ на оператори імпульсу $-i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}$, де $\hbar$ -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

$\mathcal{H}(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}= \frac{m\dot x^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

де $k -$ коефіцієнт жорсткості, а $m -$ маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

$\frac{dx}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} = \frac{p}{m}$,

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

$\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} = -kx$,

Звідси можна отримати рівняння руху:

$m\ddot x + kx = 0$.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

$S = -\int_{0}^{T} \mathcal{H}(x,p,t)\, dt = \frac{1}{2}ma^2\omega ^2T,$

де $a -$ амплітуда коливань, $\omega = \sqrt{k/m} -$ циклічна частота, а $T = 2\pi /\omega -$ період.

Електричний осцилятор

Для класичного $LC -$ контура функція Гамільтона має вигляд:

$\mathcal{H}(q,p_M,t) = \frac{p_M^2}{2L} + \frac{q^2}{2C}$

де $p_M = L\dot q -$ "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періода коливань:

$S = -\int_{0}^{T} \mathcal{H}(x,p_M,t)\, dt = \frac{1}{2}Lq_0^2\omega ^2T,$

де $q_0 -$ амплітудне значення заряду, $\omega = \sqrt{1/LC} -$ циклічна частота, а $T = 2\pi/\omega - \$ період коливань.

Див. також

• Механіка Лагранжа
• Рівняння Гамільтона-Якобі
• Дужки Пуассона

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
• тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974. — 224 с.