Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Гамільтонова механіка це одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньотона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Зміст

[ред.] Функція Гамільтона

Функція Гамільтона  \mathcal{H}(q_i,p_i, t) \, визначається через узагальнені координати  q_i \, і узагальнені імпульси  p_i \, виходячи з функції Лагранжа  \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i, t) \, наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

 p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} .


Функція Гамільтона визначається згідно з

 \mathcal{H} = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} 
- \mathcal{L} 
.

Після цього всі узагальнені швидкості  \dot{q}_i d  \mathcal{H} виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

 \mathcal{H} = T + V \,,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

[ред.] Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} ,
 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} .


Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

[ред.] Практичні використання

[ред.] Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

 \mathcal{H} = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} +e\varphi

де e -- заряд частки,  \varphi -- електростатичний потенціал,  \mathbf{A} -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку будемо мати:

 \mathcal{H} = c\sqrt{m^2c^2 + (\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2} +e\varphi .

[ред.] Функція Гамільтона в теорії відносності

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа \mathcal{L} (див. "Механіку" Ландау):

\mathcal{H} = \mathbf{v}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} - \mathcal{L} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Як видно, її вираз повністю співпадає із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

\mathcal{H}^2 = c^2(p^2 + m^2c^2) ,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

\mathcal{H} = c\sqrt{p^2 + mc^2} .

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

[ред.] Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії  \hat{H} будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів pi на оператори імпульсу  -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} , де  \hbar -- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки -- рівняння Шредінгера.


[ред.] Механічний осцилятор

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має наступний вигляд:

H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}= \frac{m\dot x^2}{2} + \frac{kx^2}{2}

де k коефіцієнт пружності, а m маса частки.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

\frac{dx}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m},

з якого отримуємо вираз для імпульса:

p = m\frac{dx}{dt}= m\dot x .

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx ,

звідки рівняння руху:

\frac{dp}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx

або в стандартній формі:

m\ddot x + kx = 0 .

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періода коливань:

S = -\int_{0}^{T} H(x,p,t)\, dt = 0,5ma^2\omega ^2T,

де a амплітуда коливань, \omega = \sqrt{k/m} - циклічна частота, а T = 2π / ω − період.

[ред.] Електричний осцилятор

Для класичного LC контура функція Гамільтона має вигляд:

\mathcal{H}(q,p_M,t) = \frac{p_M^2}{2L} + \frac{q^2}{2C}

де p_M = L\dot q - "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періода коливань:

S = -\int_{0}^{T} \mathcal{H}(x,p_M,t)\, dt = 0,5Lq_0^2\omega ^2T,

де q0 амплітудне значення заряду, \omega = \sqrt{1/LC} - циклічна частота, а T = 2\pi/\omega - \ період коливань.



[ред.] Дивись також

Механіка Лагранжа

Рівняння Гамільтона-Якобі

дужки Пуассона

[ред.] Джерела

  • Федорченко А.М.. Теоретична механіка (1975), Київ: Вища школа., 516 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М.. Механика. Теоретическая физика, т.1 (1958), Москва: Госиздат., 206 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М.. Теория поля. Теоретическая физика, т.2 (1967), Москва: Госиздат., 460 с.
Особисті інструменти