Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Гамільтонова механіка це одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньотона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Зміст

[ред.] Функція Гамільтона

Функція Гамільтона  \mathcal{H}(q_i,p_i, t) \, визначається через узагальнені координати  q_i \, і узагальнені імпульси  p_i \, виходячи з функції Лагранжа  \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i, t) \, наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

 p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} .


Функція Гамільтона визначається згідно з

 \mathcal{H} = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} 
- \mathcal{L} 
.

Після цього всі узагальнені швидкості  \dot{q}_i d  \mathcal{H} виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

 \mathcal{H} = T + V \,,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

[ред.] Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} ,
 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} .


Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

[ред.] Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

 \mathcal{H} = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} +e\varphi

де e -- заряд частки,  \varphi -- електростатичний потенціал,  \mathbf{A} -- векторний потенціал.

[ред.] Функція Гамільтона в теорії відносності

В релятивітському випадку функція Гамільтона для вільної частинки має вигляд

 \mathcal{H} = c \sqrt{p^2 + m^2 c^2}

[ред.] Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії  \hat{H} будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів pi на оператори імпульсу  -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} , де  \hbar -- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки -- рівняння Шредінгера.

[ред.] Дивись також

Механіка Лагранжа

Рівняння Гамільтона-Якобі

дужки Пуассона

[ред.] Джерела

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка, Київ: Вища школа., 516 с.
Особисті інструменти