Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гамільтонова механіка це одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньотона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Зміст

1 Функція Гамільтона
2 Канонічні рівняння Гамільтона
3 Практичні використання
4 Дивись також
5 Джерела

[ред.] Функція Гамільтона

Функція Гамільтона $\mathcal{H}(q_i,p_i, t) \,$ визначається через узагальнені координати $q_i \,$ і узагальнені імпульси $p_i \,$ виходячи з функції Лагранжа $\mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i, t) \,$ наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

$p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}$ .

Функція Гамільтона визначається згідно з

$\mathcal{H} = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \mathcal{L}$ .

Після цього всі узагальнені швидкості $\dot{q}_i$ d $\mathcal{H}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

$\mathcal{H} = T + V \,$ ,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

[ред.] Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

$\dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}$ ,

$\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}$ .

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

[ред.] Практичні використання

[ред.] Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

$\mathcal{H} = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} +e\varphi$

де $e$ -- заряд частки, $\varphi$ -- електростатичний потенціал, $\mathbf{A}$ -- векторний потенціал.

В релятивістському випадку будемо мати:

$\mathcal{H} = c\sqrt{m^2c^2 + (\mathbf{p} - e\mathbf{A}/c)^2} +e\varphi$ .

[ред.] Функція Гамільтона в теорії відносності

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа $\mathcal{L}$ (див. "Механіку" Ландау):

$\mathcal{H} = \mathbf{v}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} - \mathcal{L} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Як видно, її вираз повністю співпадає із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

$\mathcal{H}^2 = c^2(p^2 + m^2c^2)$ ,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

$\mathcal{H} = c\sqrt{p^2 + mc^2}$ .

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

[ред.] Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії $\hat{H}$ будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів $p i$ на оператори імпульсу $-i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}$ , де $\hbar$ -- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.