Елементарний топос

Елементарний топос — категорія, в певному сенсі схожа на категорію множин, основний предмет вивчення теорії топосів. Засобами елементарних топосів можна описати аксіоматику як самої теорії множин, так і альтернативних теорій та логік, наприклад, інтуїціоністську логіку.

Визначення

Елементарний топос — це декартово замкнута повна категорія, в якій існує виділений об'єкт $\Omega$, званий класифікатором підоб'єктів, і мономорфізм у нього з термінального об'єкта $T\colon 1\to \Omega$, званий істиною (також позначається $true$), такий що для будь-якого мономорфізму $m\colon A\to B$ існує єдиний морфізм $\chi _{m}\colon B\to \Omega$, для якого діаграма

є декартовим квадратом.

Інакше кажучи, елементарний топос — це категорія, що має термінальний об'єкт і розшаровані добутки, а також експоненціал $a^{b}$ будь-яких двох об'єктів $a$ і $b$ та класифікатор підоб'єктів $\Omega$.

Властивості

• Будь-який елементарний топос є скінченно повним (за визначенням) і скінченно коповним.

Приклади

• Основним прикладом топосу, властивості якого лягли в основу загального визначення, є топос множин. У ньому експоненціал множин $A$ і $B$ — це множина $A^{B}$ відображень із $B$ в $A$. Класифікатор підоб'єктів — це множина $\Omega =\{0;1\}$, при цьому $m$ — природне вкладення $A$ в $B$, а $\chi _{m}$ — характеристична функція підмножини $A$ множини $B$, рівна 1 на елементах $A$ та 0 на елементах $A\backslash B$. Подіб'єкти $A$ — це її підмножини.
• Категорія скінченних множин також є топосом. Це типовий приклад елементарного топосу, що не є топосом Гротендіка.
• Для будь-якої категорії $C$ категорія функторів $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ є топосом Гротендіка. Границі та кограниці функторів обчислюють поточково. Для функторів $F,G$ функтор морфізмів $[F,G]$ дають формулою

$[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))$

З леми Йонеди випливає, що класифікатор підоб'єктів $\Omega$ на об'єкті $c\in C$ дорівнює множині підфункторів подаваного функтора $\mathrm {Hom} (c,\cdot )$.

• Категорія пучків множин на будь-якому топологічному просторі є топосом Гротендіка. Якщо зіставити простору $X$ його категорію відкритих підмножин, упорядкованих за вкладенням, $Ouv(X)$, то структура топосу на категорії пучків описується точно так, як і в топосі $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$. Єдина відмінність: $\Omega (c)$ є множиною всіх підпучків подаваного пучка $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$.
• Загальніше, для будь-якої категорії $C$ із заданою топологією Гротендіка $\tau$ категорія $\tau$-пучків множин є топосом Гротендіка. Більш того, будь-який топос Гротендіка має такий вигляд.
• Взагалі, не будь-який топос Гротендіка є категорією пучків на деякому топологічному просторі. Наприклад, топос пучків на топологічному просторі має точки, відповідні точкам цього простору, тоді як загальний топос може мати жодної точки. Аналогію між топосами і просторами можна зробити точною, якщо як простори розглядати локалі, при цьому категорія топосів виявляється еквівалентною категорії локалей. Неформально, локаль — це те, що залишається від поняття топологічного простору, якщо забути про точки і розглядати лише ґратку його відкритих підмножин. Для топологічних просторів немає різниці між поглядом них як на простори і як на локалі. Проте, локаль має відповідати деякому топологічному простору. Зокрема, вона повинна мати точки.

Література

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford : Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.