Конфігурація Сильвестра — Галлаї

Конфігура́ція Сильвестра — Галлаї складається зі скінченної підмножини точок проєктивного простору зі властивістю, що пряма, яка проходить через будь-які дві точки підмножини, проходить принаймні ще через одну точку підмножини.

Замість визначення конфігурації Сильвестра — Галлаї як підмножини точок проєктивного простору її можна визначити як абстрактну структуру інцидентності точок і прямих, яка задовольняє властивостям, що для будь-якої пари точок структура включає рівно одну пряму, яка містить цю пару, і що будь-яка пряма містить принаймні три точки. У цьому загальному вигляді конфігурації називають схемами Сильвестра — Галлаї. Близьке поняття — матроїд Сильвестра, з тією ж властивістю відсутності прямих з двома точками, що й у конфігурації Сильвестра — Галлаї.

Вкладність у дійсний та комплексний простори

Теорема Сильвестра показує, що у двовимірному просторі, на дійсній проєктивній площині, в евклідових і проективних просторах вищих розмірностей, а також у просторах з координатами з упорядкованого поля можуть існувати лише одновимірні конфігурації Сильвестра — Галлаї — вони складаються з трьох або більше колінеарних точок. Жан-П'єр Серр надихнувся цим фактом і прикладом конфігурації Гессе і запитав, чи не будуть у просторах з комплексними координатами всі конфігурації Сильвестра — Галлаї максимум двовимірними. Ердеш повторив питання. Келлі відповів на запитання Серра ствердно. Елкіс, Преторіус і Сванепоел спростили доведення Келлі і довели, що в просторах з координатами в кватерніонах усі конфігурації Сильвестра — Галлаї повинні лежати в тривимірному підпросторі.

Проєктивні конфігурації

Моцкін вивчав проєктивні конфігурації, які є також конфігураціями Сильвестра — Галлаї. Проєктивна конфігурація має додаткові вимоги, що будь-які дві точки мають однакову кількість прямих, які проходять через них, і що будь-які дві прямі містять однакову кількість точок на них. Конфігурації Сильвестра — Галлаї включають, наприклад, афінні та проєктивні простори будь-якої розмірності, визначені над скінченними полями, і є також проєктивними конфігураціями.

Будь-якій проєктивній конфігурації можна дати позначення (pa ℓ_b), де p — число точок, ℓ — число прямих, a — число прямих, що проходять через точку, а b — число точок на прямій, для яких виконується рівність pa = ℓb. Моцкін зауважив, що для визначення схеми Сильвестра — Галлаї для цих параметрів необхідно, щоб b > 2, p < ℓ (будь-яка множина неколінеарних точок у проєктивному просторі визначає принаймні стільки прямих, скільки є точок) і щоб виконувалася така додаткова рівність

${\binom {p}{2}}={\binom {b}{2}}\ell .$

Ліва частина рівності відбиває число пар точок, а права — число пар, покритих прямими конфігурації.

Схеми Сильвестра — Галлаї, які є також проєктивними конфігураціями, є тими самими об'єктами, що й системи Штейнера з параметрами ST(2,b,p).

Моцкін перерахував деякі приклади малих конфігурацій цього типу:

• 7₃7₃, параметри площини Фано, проєктивної площини над полем із двох елементів.
• 9₄12₃, параметри конфігурації Гессе. Це афінна площина над триелементним полем. Конфігурацію можна реалізувати також у комплексних координатах як множину точок перегину еліптичної кривої.
• 13₄13₄, параметри проєктивної площини над триелементним полем.
• 13₆26_3, параметри двох 13-елементних систем Штейнера.
• 15₇35₃, параметри тривимірного проєктивного простору над двоелементним полем та 79 інших систем трійок Штейнера.
• 16₅20₄ параметри афінної площини над чотириелементним полем.
• 21₅21₅, параметри проєктивної площини над четирехелементним полем.
• 25₆30₅ параметри афінної площини над п'ятиелементним полем.

Борос, Фюреді і Келлі, а також Боковські і Ріхтер-Геберт вивчали альтернативні геометричні подання схем Сильвестра — Галлаї, в яких точки схеми подаються мимобіжними прямими в чотиривимірному просторі, а кожна пряма схеми подається гіперплощиною. Як семиточкова, так і 13-точкова проєктивні площини мають подання цього типу.

Інші приклади

Келлі і Нванкпа класифікували загалом усі неколлінеарні конфігурації Сильвестра — Галлаї і схеми Сильвестра — Галлаї над максимум 14 точками. До цих схем належить унікальна схема із десятьма точками. У схемі деякі точки належать трьом чотириточковим прямим, інші належать трьом триточковим прямим та одній чотириточковій. Існує також єдина 11-точкова схема Сильвестра — Галлаї, дві різні 12-точкові схеми та чотири нерегулярні 13-точкові схеми. Для 14 точок вони виявили, що також існує лише одна схема Сильвестра — Галлаї.

Література

• Jürgen Bokowski, Jürgen Richter-Gebert. A new Sylvester-Gallai configuration representing the 13-point projective plane in R⁴ // Journal of Combinatorial Theory. — 1992. — Т. 54, вип. 1. — С. 161–165. — (Series B).
• Endre Boros, Zoltán Füredi, L. M. Kelly. On representing Sylvester-Gallai designs // Discrete and Computational Geometry. — 1989. — Т. 4, вип. 4. — С. 345–348.
• Noam Elkies, Lou M. Pretorius, Konrad J. Swanepoel. Sylvester–Gallai theorems for complex numbers and quaternions // Discrete and Computational Geometry. — 2006. — Т. 35, вип. 3. — С. 361–373. — arXiv:math/0403023.
• P. Erdős. Geometry and differential geometry (Proc. Conf., Univ. Haifa, Haifa, 1979). — Berlin : Springer, 1980. — Т. 792. — С. 46–53. — (Lecture Notes in Mathematics).
• L. M. Kelly. A resolution of the Sylvester–Gallai problem of J. P. Serre // Discrete and Computational Geometry. — 1986. — Т. 1, вип. 1. — С. 101–104.
• L. M. Kelly, S. Nwankpa. Affine embeddings of Sylvester-Gallai designs // Journal of Combinatorial Theory. — 1973. — Т. 14. — С. 422–438. — (Series A).
• Th. Motzkin. The lines and planes connecting the points of a finite set // Transactions of the American Mathematical Society. — 1951. — Т. 70. — С. 451–464.
• Jean-Pierre Serre. Advanced Problems: 5350-5359 // American Mathematical Monthly. — 1966. — Т. 73, вип. 1.