Користувач:Чаус Денис/Підсумовуючі функції

Означення

Підсумовуюча функція  — функцiя, що ставить у вiдповiднiсть ряду $S$ його значення $f(S)$. Не “класичнi” способи для встановлення вiдповiдностi ряд–число використовуються в регуляризацiях, теорiї чисел (Аналітичне продовення дзета-функцiї Рiмана) та iнших областях математики та фiзики.

Обґрунтування

Важливо розумiти, що знак рiвностi в, наприклад, $\sum _{n=1}^{\infty }n=-{\frac {1}{12}}$ не означає, що сума натуральних чисел $1+2+3+4+\cdots$ прямо дорiвнює вiд’ємному дробовому числу.

Визначити суму ряду як границю часткових сум (класичне визначення) було доволi природно, але таке визначення не може дати числовий результат для багатьох рядiв (як у прикладi вище).

Альтернативнi пiдсумовуючi функцiї i поняття регуляризацiй в цiлому буде легше сприймати, якщо “забути” про класичне визначення i намагатися прирiвнювати ряди до чисел на пiдставi iнших “подiбностей”.

Розглядаючи ряд

$1+2+4+8+\cdots$

можна помiтити, що, якщо помножити його на 2 i додати 1, то ряд перейде в себе ж. Це цiкава властивiсть i точно таку ж властивiсть має число −1, а iншi числа  — нi (звернiть увагу, що при, наприклад, множеннi на 4 i додаваннi 3 висновок той же).

Це, звiсно, не строге доведення, але такий приклад дає розумiння того, чому iснують альтернативнi пiдсумовуючi функцiїю.

Властивості

Для пiдсумовуючих функцiй виконуються наступнi властивостi:

• Лінійність: якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ і $\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}=B$, то $\sum \limits _{n=0}^{\infty }(\alpha a_{n}+\beta b_{n})=\alpha A+\beta B$.

• Стабільність (інваріантність до зсуву): якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$, то $a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}=A$.

• Регулярність: якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ в класичному сенсі, то $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ і з іншою підсумовуючою функцією.

Залежно вiд поставленої мети допускається невиконання якоїсь умови вище, або накладання додаткових. Але виконання трьох згаданих вище умов уже достатньо, щоб вважати функцiю пiдсумовуючою.

Приклади

Класичне пiдсумовування

У класичному визначенні шукаємо границю часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1-{\frac {1}{2}}^{m}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2$.

Підсумовування за Чезаро

У такому випадку шукаємо границю середнього арифметичного часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {\sum _{k=0}^{n}a_{n}}{m+1}}$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}}{m+1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2m+3+(-1)^{m}}{4m+4}}={\frac {1}{2}}$.

Підсумовування за Пуассоном — Абелем

У такому випадку присвоюємо сумі значення за такою формулою:

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{x\to 1}\lim _{m\to \infty }\sum \limits _{n=0}^{m}a_{n}x^{n}$.

Наприклад,

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n=\lim _{x\to -1}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=1}^{m}nx^{n-1}=\lim _{x\to -1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{4}}$.

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном — Абелем
• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Дзета-функція Рімана

Зовнішні лінки

• Divergent Series Redux. Summation Theory
• arXiv
• Wolfram MathWorld
• Skulls in the Stars

Література

• Hardy, G. H. (2000). Divergent series. American Mathematical Society, 334.
• Фихтенгольц, Г. М. (1966). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Рипол Классик.