Ланцюг (алгебрична топологія)

Ланцюг в алгебричній топології і диференціальній геометрії — конструкція, що узагальнює поняття багатокутника, використовується для визначення гомологій простору і інтегрування диференціальних форм на ньому.

Означення

Криволінійним симплексом називається двічі неперервно диференційовне невироджене відображення симплекса $\gamma =[p_{0},\ldots ,p_{n}]$ в евклідовому просторі в топологічний простір $M$.

Ланцюгом називається елемент вільного модуля над кільцем цілих чисел, породженого множиною симплексів даного топологічного простору, тобто формальна сума

$\sigma =k_{1}\sigma _{1}+\dots +k_{n}\sigma _{n},~k_{i}\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {N}$

Число $k_{i}$ називається кратністю симплекса $\sigma _{i}$. Сума ланцюгів визначається як сума елементів модуля.

Межа $\partial \sigma _{i}$ криволінійного симплекса $\sigma _{i}$ означається як образ межі симплекса $\gamma _{i}$ під дією відображення $\sigma _{i}$. На довільні ланцюги межовий оператор продовжується за лінійностю, тобто

$\partial \sigma =k_{1}\partial \sigma _{1}+\dots +k_{n}\partial \sigma _{n}$

Пов'язані означення

• Цикл — це ланцюг, межа якого дорівнює нулю.

Література

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.