Топологічний простір

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє наступним умовам:

1. Порожня множина $\varnothing$ та множина X належать Γ.
2. Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
3. Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.

Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднуюче поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Порівняння топологій

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ₁ та Γ₂. Якщо будь-яка множина з топології Γ₁ також належить Γ₂, то кажуть, що топологія Γ₁ грубша за топологію Γ₂, відповідно, топологія Γ₂ тонша за топологію Γ₁.

Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.

Найгрубшою є топологія Г = { $\varnothing$, X} (антидискретна топологія).

База топології

Топології найчастіше визначаються задопомогою баз. Підмножина $B\subset\Gamma$ множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини $B$.

Наприклад, множина відкритих відрізків $(a, b)$ дійсної прямої $\mathbb{R}$ є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.

Приклади

Будь-який евклідів простір $\R^n$ є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.

Взагалі кажучи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базою топології якого є множина відкритих куль. У функціональному аналізі такими є нескінченновимірні простори функцій.

Якщо взяти множину відрізків вигляду $(a,\infty)$ на дійсній прямій $\R$, то ми отримаємо «топологію стрілки».

Неперервні функції

Функція f : X₁→ X₂, де (X₁, Γ₁) та (X₂, Γ₂) - топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X₂, Γ₂) є відкрита множина в (X₁, Γ₁) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означенння збігається з означенням неперевності функції в термінах $\epsilon-\delta$. Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

Індукована топологія

Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А - будь-яка підмножина Х, можна зробити з А топологічний простір, означаючи топологію $\ \Lambda$ на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А, $\ \Lambda = \big\{ U|U = A\cap O, O\in \ \Gamma \big\}$. $\ \Lambda$ називається індукованою (відносною) топологією.

Топологія добутку

Якщо (X₁, Γ₁) і (X₂, Γ₂) — топологічні простори, то можна зробити добуток $X_1 \times X_2 : \{(x_1, x_2)\;|\;x_1\in X_1, x_2 \in X_2\}$ топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х₁×Х₂ які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми $O_1 \times O_2, O_1 \in \Gamma_1 , O_2 \in \Gamma_2$. Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для $\R$ можна з допомогою цього означення побудувати топології на $\R^n$, причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.

Література

• В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология випуск 21 серії «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Я.Стюарт, Топология, Квант, № 7, 1992.
• В. В. Прасолов, Наглядная топология
• R.Wald, General Relativitty