Топологічний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє наступним умовам:

  1. Порожня множина \varnothing та множина X належать Γ.
  2. Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
  3. Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.

Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднуюче поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Порівняння топологій[ред.ред. код]

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ1 та Γ2. Якщо будь-яка множина з топології Γ1 також належить Γ2, то кажуть, що топологія Γ1 грубша за топологію Γ2, відповідно, топологія Γ2 тонша за топологію Γ1.

Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.

Найгрубшою є топологія Г = { \varnothing, X} (антидискретна топологія).

База топології[ред.ред. код]

Топології найчастіше визначаються задопомогою баз. Підмножина B\subset\Gamma множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини B.

Наприклад, множина відкритих відрізків (a, b) дійсної прямої \mathbb{R} є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.

Приклади[ред.ред. код]

Будь-який евклідів простір \R^n є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.

Взагалі кажучи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базою топології якого є множина відкритих куль. У функціональному аналізі такими є нескінченновимірні простори функцій.

Якщо взяти множину відрізків вигляду (a,\infty) на дійсній прямій \R, то ми отримаємо «топологію стрілки».

Неперервні функції[ред.ред. код]

Функція f : X1X2, де (X1, Γ1) та (X2, Γ2) — топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X2, Γ2) є відкрита множина в (X1, Γ1) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означенння збігається з означенням неперевності функції в термінах \epsilon-\delta. Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

Індукована топологія[ред.ред. код]

Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А — будь-яка підмножина Х, можна зробити з А топологічний простір, означаючи топологію \ \Lambda на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А, \ \Lambda = \big\{ U|U = A\cap O, O\in \ \Gamma \big\} . \ \Lambda називається індукованою (відносною) топологією.

Топологія добутку[ред.ред. код]

Якщо (X1, Γ1) і (X2, Γ2) — топологічні простори, то можна зробити добуток X_1 \times X_2 : \{(x_1, x_2)\;|\;x_1\in X_1, x_2 \in X_2\} топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х1×Х2 які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми O_1 \times O_2, O_1 \in \Gamma_1 , O_2 \in \Gamma_2. Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для \R можна з допомогою цього означення побудувати топології на \R^n, причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]