Метод Вінера-Хопфа

Метод Вінера-Хопфа — метод розв'язку інтегральних рівняннь спеціально виду, що широко використовується в прикладній математиці. Рівняннями Вінера-Хопфа називаються лінійні інтегральні рівняння з різнецевим ядром виду

$\beta \varphi(x)=\lambda\int_{0}^\infty K(x-s)\varphi(s)\,ds+f(x),$

, де $\varphi (x)$ - невідома функція; $f (x)$, $K (xs)$ - відомі функції, $\lambda, \beta$ - параметри. При $\beta = 0$ називається рівнянням Вінера-Хопфа 1-го роду, при при $\beta = 1$ називається рівнянням Вінера-Хопфа 2-го роду. Метод розроблений Норбертом Вінером і Ебергардом Хопфом у 1931 році.

Метод

Для розвязку вводятся т. зв. односторонні функції $\varphi_{+}(x)$ и $f_{+}(x)$, що дорівнюють $\varphi(x)$ и $f(x)$ при x>0 і рівні 0 при x<0 и функція $\varphi_{-}(x)$, що дорівнює 0 при x>0. Введення односторонніх функцій дозволяє звести інтеграл в цьому рівнянні до інтегралу типу згортки

$\beta \varphi_{+}(x)=\lambda\int_{-\infty}^{+\infty} K(x-s)\varphi_{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi_{-}(x)$.

Таким чином, за допомогою односторонніх функцій область визначення рівняння продовжується на відємну піввісь. Застосовуючи перетворення Фур'є

$\varphi^{\pm}(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_{\pm}(x)e^{iux}dx$, отримуємо лінійне рівняння з двома невідомими функціями

Для рівняння-образу

$\varphi^{+}(u)=\frac{f^{+}+\varphi^{-}}{\beta-\lambda K^{*}(u)}$

розвязується крайова задача Рімана, тобто визначаються функції $\varphi^{-}$ і $\varphi^{+}$. Розвязком інтегрального рівняння буде оберненим перетворенням Фур'є функції

$\varphi^{+}$: $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi^{+}(u)e^{-iux}du$.

Застосування

Цей метод був розроблений для задачі про дифракцію хвиль на півплощині, знайшов застосування в теорії хвилеводів, в задачах про дифракцію хвиль і перенесення випромінювання. Рівняння ж було отримане при вирішенні задачі радіаційної рівноваги всередині зірок. Також використовується в кібернетиці, при вирішенні задачі виділення, фільтрації корисного сигналу з його суміші з шумом.

Література

1. Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.
2. Н. Винер «Я-математик» М.: Наука, 1964, В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 стр. с илл., гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931», с. 120—143;
3. Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во МАИ, 1994, 280 стр. с илл., ISBN 5-7035-0489-9, ББК 14.2.5 С 17 УДК 621.396.6, гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера-Хопфа.», с. 60-63;
4. А. В. Манжиров, А. Д. Полянин «Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения», М., «Факториал Пресс», 2000, 384 стр., ISBN 5-88688-046-1, ББК 517.2 М 23 УДК 517.9, гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера-Хопфа второго рода».
5. Мышкис А. Д. «Математика для технических вузов», спец. курсы, 2-е изд, СПб, изд-во «Лань», 2002, 640 с., ISBN 5-8114-0395-X, гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси».