Модель діода

В електроніці, моделі діода є математичними моделями, що використовуються для апроксимації дійсної поведінки реальних діодів при аналізі ланцюгів. Вольт-амперна характеристика діода нелінійна (вона добре описується законом Шоклі). Ця нелінійність ускладнює обчислення в ланцюгах з діодами, тому часто необхідні прості моделі.

У цій статті розглядається моделювання діодів з p-n переходом, але методи можуть бути узагальнені на інші твердотільні діоди.

Моделювання великих сигналів

Діодна модель Шоклі

Рівняння Шоклі пов'язує струм діода з p-n переходом з напругою на діоді. Цей зв'язок називають Вольт-амперною характеристикою:

I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)

,

де $I_{S}$ це струм насичення або масштабний струм діода (величина струму, що тече через негативний напрузі на діоді $V D$ величиною понад декілька $V T$ ), зазвичай 10^-12 A). Масштабний струм пропорційний площі поперечного перерізу діода. Величина $V T$ це теплова напруга (близько 26 мВ при нормальній температурі), а $n$ відоме як фактор ідеальності діода (для кремнієвих діодів приблизно від 1 до 2).

Якщо $V_{D}\gg nV_{\text{T}}$ , то формула може бути спрощеною до:

I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}

.

Однак цей вираз є лише апроксимацією складніших Вольт-амперних характеристик. Його застосовність особливо обмежена у випадку надтонких переходів, для яких існують кращі аналітичні моделі^[1].

Приклад схеми з діодом і резистором

Для ілюстрації труднощів у застосуванні цього закону, розглянемо проблему знаходження напруги на рис. 1.

Позаяк струм, що протікає через діод, такий самий, як і струм у ланцюгу, можна скласти ще одне рівняння. За законими Кірхгофа, струм, що протікає в ланцюзі

I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}

.

Ці два рівняння визначають струм діода і напругу на діоді. Для розв'язання системи рівнянь, можна підставити струм $I$ з другого рівняння в перше рівняння, а потім спробувати перегрупувати отримане рівняння, щоб виразити $V D$ через $V S$ . Складність цього методу полягає в нелінійності діодного закону. Проте, формула, що виражає $I$ безпосередньо у плані $V_{S}$ без залучення $V_{D}$ може бути отримана з використанням Ламбертової $W$ -функції, яка є оберненою функцією від $f(w)=we^{w}$ , тобто $w=W(f)$ . Це рішення обговорюється далі.

Явне рішення

Явний вираз для струму діода може бути отриманий в термінах Ламбертової W-функції (також звана Омега функція).^[2] Нову змінну $w$ вводять як

w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)

.

Після заміни $I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1$ :

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}

і $V_{D}=V_{S}-IR$ :

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}

Після перестановки отримаємо:

we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}

,

який з допомогою Ламбертової $W$ -функції стає

w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)

.

З апроксимаціями (дійсний для найбільш поширених значень параметрів) $I_{s}R\ll V_{S}$ і $I/I_{S}\gg 1$ цей розв'язок стає

I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)

.

Для великих x, $W(x)$ можна апроксимувати $W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)$ . Для типових фізичних параметрів і опорів, ${\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}$ = 10⁴⁰.

Ітераційне рішення

Напругу діода $V_{D}$ можна знайти з $V_{S}$ для будь-якого конкретного набору значень використовуючи ітераційний метод з допомогою калькулятора або комп'ютера.^[3] Діодний закон змінюється шляхом ділення на $I_{S}$ і додавання 1. Діодний закон буде

e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1

.

Взявши натуральні логарифми від обох сторін, експоненціальний видаляється, і рівняння стає

{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)

.

Для будь-якого $I$ це рівняння визначає $V_{D}$ . Однак $I$ також повинні відповідати закону рівняння Кірхгофа, наведений вище. Замінивши $I$ отримаємо

{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)

,

або

V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)

.

Напруга джерела $V_{S}$ відома, як задане значення, але $V_{D}$ є на обох сторонах рівняння, що викликає ітераційне рішення: початкового значення $V_{D}$ вгадується і задається в правій частині рівняння. Виконання різних операцій в правій частині, ми отримаємо нове значення $V_{D}$ . Це нове значення підставляється в правій стороні і так далі. Якщо ця ітерація збігається, то значення $V_{D}$ стають ближче і ближче один до одного, як процес триває поки не буде досягнуто відповідної точністі. Знайшовши $V_{D}$ , $I$ може бути знайдено з закону рівняння Кірхгофа.

Іноді ітераційна процедура значною мірою залежить від початкового наближення. У цьому прикладі, початкове значення $V_{D}=600\,{\text{mV}}$ . Іноді ітераційний процес сходиться на всіх: у цій задачі ітерації на основі експоненціальної функції не сходиться, і тому рівняння були перебудовані, щоб використовувати логарифм. Пошук сходиться ітераційний формулювання-це мистецтво, і у кожної проблеми є різні.

Графічний розв'язок

Графічний аналіз являє собою простий спосіб для отримання чисельного розв'язку трансцендентних рівнянь, що описують діод. Як і в більшості графічних методів, воно має перевагу легкої візуалізації. Побудовувавши I-V криві, можна одержати наближений розв'язок для будь-якої точності.Цей процес є графічним еквівалентом двох попередніх підходів, які є більш схильними до комп'ютерної реалізації.

Цей метод будує два вольт-амперних рівняння на графіку і точки перетину двох кривих задовольняють обидва рівняння дає значення струму, що протікає по ланцюгу і напругу на діоді. На малюнку показаний такий спосіб.

Кусково-лінійна модель

На практиці, графічний метод складний і непрактичний для складних схем. Інший метод моделювання діода називається кусково-лінійним (каркаса) моделювання. В математиці, це означає, що береться функція і розбивається на кілька лінійних сегментів. Цей метод використовується для апроксимації діодної характеристики як послідовністі лінійних сегментів. Реальний діод моделюється як трьох компонентний: ідеальний діод, джерело напруги і резистор.

На малюнку показана I-V крива реального діода, яка апроксимується двома відрізками кусково-лінійної моделі. Зазвичай похилий відрізок є дотичною до кривої діода в точці Q. Тоді нахил цієї лінії визначається, як зворотній до малого сигналу опіру діода в точці Q.

Математично ідеалізований діод

По-перше, давайте розглянемо математично ідеалізований діод. Як і в ідеальному діод, якщо діод є зворотньо зміщеним, струм, що протікає через нього дорівнює нулю. Це ідеальний діод починає проводити для 0 V для будь-якої додатньої напруги нескінчено протікає струм, і діод веде себе як коротке замикання. I-V характеристики ідеального діода показано нижче:

Ідеальний діод послідовно з джерелом напруги

Тепер давайте розглянемо випадок, коли ми додаємо джерела напруги послідовно з діодом у формі, наведеній нижче:

Ідеальний діод-це просто коротке замикання, а коли зворотне зміщення, обрив ланцюга.

Якщо анод діода, підключений до 0 V, напруга на катоді є Vt і тому потенціал на катоді буде більше, ніж потенціал на аноді, і діод буде зворотним упередженим. Для того, щоб отримати діод, необхідно провести напругу на аноді до Vt. Ця схема приблизно дорівнює напрузі вхідного в реальних діодах. Комбінована I-V характеристика цієї схеми показана нижче:

Модель діода Шоклі можуть бути використані для прогнозування приблизне значення $V_{t}$ .

${\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}$

Використовуючи $n=1$ і $T=25\,{\text{°C}}$ :

V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}

Типові значення струму насичення при кімнатній температурі:

$I_{S}=10^{-12}$ для кремнієвих діодів;
$I_{S}=10^{-6}$ для германієвих діодів.

Поки варіант $V_{D}$ йде з логарифмом співвідношення ${\frac {I}{I_{S}}}$ , його значення варіюється дуже мало для великої зміни співвідношення. Використання основа 10 логарифмів спрощує думаю в порядки.

На постійний струм 1.0 mA отримуємо:

$V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}$ для кремнієвих діодів (9 порядків);
$V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}$ для германієвих діодів (3 порядку).

Для струму 100 mA отримуємо:

$V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}$ для кремнієвих діодів (11 порядків);
$V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}$ для германієвих діодів (на 5 порядків).

Значення або 0,6 0,7 вольт зазвичай використовуються для кремнієвих діодів.

Малосигнальні моделі

Опір

Використовуючи рівняння Шоклі, малосигнальний діодий опір $r_{D}$ діода може бути отриманий в якийсь робочій точці (Q-точка), де струму підмагнічування є $I_{Q}$ і Q-точка прикладеної напруги $V_{Q}$ .^[4] Для початку, діод малосигнальний провідності $g_{D}$ знайдено, як зміна струму в діоді, викликана невеликою зміною напруги, поділено на цю зміна напруги, а саме:

g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}

.

Остання апроксимація припускає, що струм зміщення $I_{Q}$ досить великий, так що фактор 1 в дужках рівняння Шоклі діода можна знехтувати. Ця апроксимація є точною, навіть при відносно малих напругах, тому що теплова напруга $V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}$ при 300 K, так $V_{Q}/V_{\text{T}}$ має тенденцію бути великим, це означає, що експоненціальна дуже великі.

Зазначивши, що малий-сигналу опір $r_{D}$ це взаємне малосигнальної провідності знайшов, опір діода не залежить від струму, але залежить від струму, і дана, як

r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}

.

Ємності

Відомо, що заряд у діоді струм $I_{Q}$

Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}

,

де $\tau _{F}$ вперед часу транзиту носіїв заряду.^[4] Перший доданок в заряд є заряд транзитом через діод, коли струм $I_{Q}$ потоків. Другий термін-це заряд, що зберігається у стику самому собі, коли він розглядається як простий конденсатор; тобто, у вигляді пари електродів з протилежними зарядами на них. Цей заряд, накопичений на діодні в силу простої наявності напруги на ньому, незважаючи ні на що він проводить струм.

Таким же чином, як і раніше, ємність діода є відношення заряду діода до напруги діода:

C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}

,

де $C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}$ це місткості переходу і перший термін називається дифузійної ємності, т. к. це пов'язано з поточною дифузією через перехід.

Див. також

Біполярний транзистор

Посилання

↑ Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). Analytical Model of I – V Characteristics of Arbitrarily Shallow p-n Junctions. IEEE Transactions on Electron Devices. 56: 116—125. doi:10.1109/TED.2008.2009028.
↑ Banwell, T.C.; Jayakumar, A. Exact analytical solution for current flow through diode with series resistance. Electronics Letters. 36 (4). doi:10.1049/el:20000301.
↑ . A.S. Sedra and K.C. Smith (2004). Microelectronic Circuits (вид. Fifth). New York: Oxford. Example 3.4 p. 154. ISBN 0-19-514251-9. Архів оригіналу за 11 грудня 2008. Процитовано 21 травня 2018.
↑ ^а ^б R.C. Jaeger and T.N. Blalock (2004). Microelectronic Circuit Design (вид. second). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232099-0.

[Popadic-1] Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). Analytical Model of I – V Characteristics of Arbitrarily Shallow p-n Junctions. IEEE Transactions on Electron Devices. 56: 116—125. doi:10.1109/TED.2008.2009028.

[2] Banwell, T.C.; Jayakumar, A. Exact analytical solution for current flow through diode with series resistance. Electronics Letters. 36 (4). doi:10.1049/el:20000301.

[Sedra2-3] . A.S. Sedra and K.C. Smith (2004). Microelectronic Circuits (вид. Fifth). New York: Oxford. Example 3.4 p. 154. ISBN 0-19-514251-9. Архів оригіналу за 11 грудня 2008. Процитовано 21 травня 2018.

[jaeger-4] а ^б R.C. Jaeger and T.N. Blalock (2004). Microelectronic Circuit Design (вид. second). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232099-0.

[1]

[2]

[3]

[4]