Математична модель
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Математи́чна моде́ль (рос. математическая модель ; англ. mathematic model; нім. mathematisches Model n) — система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище.
При одержанні М.м. використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів, імітаційне моделювання за допомогою ЕОМ. М.м. дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками.
Для створення математичних моделей можна використовувати будь які математичні засоби — мову диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуємий в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень.
Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розв'язати в замкнутому вигляді (явно) відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або в частково замкнутому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференційні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірнісні моделі, моделі математичного програмування та інші.
Якщо не можна здобути точний розв'язок математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші види моделювання.
У залежності від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення М.м. можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними зв’язками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис неперервного процесу (напр., диференційними рівняннями) являє собою неперервну М.м.
Якщо ж М.м. описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального об’єкта його М.м.). Якщо параметри об’єкта, для якого розробляють М.м., можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої – постійні коефіцієнти. У протилежному випадку М.м. є нестаціонарною.
При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.
Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. У цьому випадку М.м. складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесу.
Для розробки М.м. широко використовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні М.м. Приклади математичних моделей:
- Модель Мальтуса – закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.
- Система хижак-жертва (Вольтера-Лотки) – показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.
- Модель оптимальної поведінки покупця – виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.
[ред.] Джерела інформації
- Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов. Демография, экономика, войны. М.: УРСС, 2005 [1].
- Енциклопедія кібернетики, т. 2, с. 42.
[ред.] Дивіться також
- Модель
- Математичне моделювання
- математична модель у промисловій геології
- Математичне моделювання технологічних процесів
[ред.] Література
- Мала гірнича енциклопедія: В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: «Донбас», 2004. ISBN 966-7804-14-3
