Найбільший многокутник одиничного діаметра

Найбільший многокутник одиничного діаметра — многокутник з n сторонами (для заданого числа n), діаметр якого дорівнює одиниці (тобто відстань між будь-якими двома його точками не перевищує одиниці), і має найбільшу площу серед інших n-кутників одиничного діаметра. Розв'язком (не унікальним) для n = 4 є квадрат, розв'язком для непарних n є правильний многокутник, при цьому для інших парних n правильний многокутник найбільшим не буде.

Чотирикутники

Площа довільного чотирикутника ($n=4$) обчислюється за формулою $S={\frac {pq\sin(\theta )}{2}}$, де $p$ і $q$ — діагоналі чотирикутника, а $\theta$ — кут між діагоналями. Якщо діаметр многокутника не перевищує одиниці, і $p$ і $q$ мають не перевищувати 1. Таким чином, чотирикутник має найбільшу площу, коли всі три множники досягають найбільшого можливого значення, тобто $p=q=1$ і $\sin(\theta )=1$. Умова $p=q$ означає, що чотирикутник рівнодіагональний, а умова $\sin(\theta )=1$ означає, що він ортодіагональний (його діагоналі перпендикулярні). До таких чотирикутників належить квадрат із діагоналями одиничної довжини, що має площу ½, однак є безліч інших чотирикутників одночасно рівнодіагональних і ортодіагональних з довжинами діагоналей 1, всі вони мають таку ж площу, як квадрат. Таким чином, розв'язок не єдиний.

Непарна кількість сторін

Для непарних значень n Карл Райнгардт показав, що правильний многокутник має найбільшу площу серед усіх многокутників одиничного діаметра.

Парна кількість сторін

Найбільший многокутник одиничного діаметра із шістьма сторонами (ліворуч). Праворуч — правильний многокутник такого ж діаметра, але меншої площі.

У разі n = 6 оптимальний многокутник єдиний, однак він не є правильним. Розв'язок для цього випадку 1975 року опублікував Рональд Грем у відповідь на питання, яке поставив 1956 року Ганфрід Ленц. Це неправильний рівнодіагональний п'ятикутник із трикутником, прикріпленим до однієї з його сторін, і відстань від вершини цього трикутника до протилежної вершини п'ятикутника дорівнює довжині діагоналей п'ятикутника. Площа цієї фігури дорівнює 0.674981…, і це число задовольняє рівнянню:

4096 x¹⁰ +8192x⁹ − 3008x⁸ − 30848x⁷ + 21056x⁶ + 146496x⁵ − 221360x⁴ + 1232x³ + 144464x² − 78488x + 11993 = 0.

Грем висловив гіпотезу, що в загальному випадку для парних n розв'язок будується аналогічно з правильних (n−1)-кутників (з одиничними діагоналями) з додаванням рівнобедреного трикутника до однієї зі сторін, відстань від вершини якого до протилежної вершини (n−1)-кутника дорівнює одиниці. Для випадку n = 8 це перевірено 2002 року за допомогою комп'ютера . Для доведення Грема оптимальності його шестикутника та перевірки на комп'ютері випадку n = 8 використано перебір варіантів усіх можливих треклів із n вершинами та прямолінійними ребрами.

Повне підтвердження гіпотези Грема для всіх парних значень n надано 2007 року.

Література

• J. J. Schäffer. Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12 // Elemente der Math.. — 1958. — Т. 13.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
• Karl Reinhardt. Extremale Polygone gegebenen Durchmessers // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1922. — Т. 31.
• H. Lenz. Ungelöste Prob. 12 // EIemente der Math.. — 1956. — Т. 11.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
• R. L. Graham. The largest small hexagon // Journal of Combinatorial Theory. — 1975. — Т. 18. — (Series A). — DOI:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
• Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong. The largest small octagon // Journal of Combinatorial Theory. — 2002. — Т. 98, вип. 1. — (Series A). — DOI:10.1006/jcta.2001.3225.
• Jim Foster, Tamas Szabo. Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham // Journal of Combinatorial Theory. — 2007. — Т. 114, вип. 8. — (Series A). — DOI:10.1016/j.jcta.2007.02.006.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Найбільший малий многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Graham's Largest Small Hexagon, from the Hall of Hexagons