Площа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Прямокутник 5x4 має площу 20

Площа— величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних квадратів, якими фігури можна покрити.

Площу заведено позначати великою латинською літерою S, у англомовній літературі - літерою A від англ. area.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Площею в планіметрії може назватися будь-яка величина, яка задовольняє умовам:

  • вона додатно-визначена (тобто не менша нуля)
  • вона адитивна (площа об'єднання двох фігур, що не перетинаються, є сума площ цих двох фігур)
  • у конгруентних фігур вона однакова
  • для квадрата зі стороною 1 вона приймається рівною 1.

Для фігур на площині, які не складаються з цілої кількості одиничних квадратів, а також для тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою граничного переходу.

Площа в аналітичній геометрії[ред.ред. код]

Аналітична геометрія дозволяє розв'язувати геометричні задачі алгебраїчними методами, оперуючи такими поняттями як система координат, вектор тощо. Площина в тривимірному просторі має дві поверхні. Площі цих двох поверхонь позначаються із протилежними знаками. Оскільки орієнтація поверхні задається вектором нормалі до неї, то площу теж визначають як вектор, колінеарний нормалі до поверхні.

Наприклад, для паралелограма, побудованого на векторах  \mathbf{a} та  \mathbf{b} площа визначається як векторний добуток:

 \mathbf{S} = [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] .

При зміні порядку множників у цій формулі,  \mathbf{S} міняє знак, що відповідає нормалям до двох різних боків поверхні. Як добуток двох векторів  \mathbf{S} є псевдовектором — при зміні напрямку кожного із векторів  \mathbf{a} та  \mathbf{b} на протилежний,  \mathbf{S} напрямку не міняє.

Площа в математичному аналізі[ред.ред. код]

Площу між двома графіками можна знайти як різницю інтегралів відповідних функцій

Математичний аналіз надає широкі можливості для обчислення площі криволінійних фігур. Поняття інтеграла, яке має широке застосування і в інших областях, має просту інтерпретацію, як площа криволінійної фігури обмеженої підінтегральною функцією, віссю абсцис і двома прямими, паралельними осі ординат:

 S = \int_a^b f(x)dx .

Оскільки функція  f(x) може мати як додатні, так і від'ємні значення на інтервалі [a,b], то інтеграл теж може бути додатнім або від'ємним. Для того, щоб отримати площу фігури в її геометричному сенсі потрібно інтегрувати абсолютну величину функції:

 S = \int_a^b |f(x)|dx .

Виходячи з цього означення, площу між двома графіками функцій можна знайти як інтегралів однієї функції, f(x), мінус інтеграл іншої функції, g(x).

 S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx .

Площу криволінійної фігури, обмеженої функцією  r = r(\varphi) , вираженою в полярних координатах, знаходять за формулою

 S = {1 \over 2} \int_0^{2\pi} r^2 \, d\varphi .

Площу обмежену параметричною кривою \mathbf{u}(t) = (x(t), y(t)) з кінцевими точками  \mathbf{u}(t_0) = \mathbf{u}(t_1) знаходять за теоремою Гріна криволінійним інтегралом

 \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt

Водночас, ця формула є z-координатою векторного добутку:

{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \mathbf{u} \times \dot{\mathbf{u}} \, dt.

В цій формулі крапка над  \mathbf{u} означає похідну.

Для поверхні \Omega у тривимірному просторі, заданої функцією z = z(x,y) над деякою областю \Omega' (або \Omega' є проекцією поверхні \Omega на площину xOy [1]):

 S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 }\, dx dy.

Корисні рівняння[ред.ред. код]

Area.svg

Поширені рівняння для обчислення площі планіметричних фігур[ред.ред. код]

Фігура Рівняння Змінні
Квадрат s^2\,\! s — довжина сторони квадрата.
Правильний трикутник \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\,\! s — довжина сторони трикутника.
Правильний шестикутник \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\,\! s — довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник 2(1+\sqrt{2})s^2\,\! s — довжина сторони восьмикутника
Правильний багатокутник \frac{P^2/n} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! P — периметр, а n — кількість сторін.
Правильний багатокутник (кути в градусах) \frac{P^2/n} {4 \cdot \tan(180^\circ/n)}\,\! P — периметр, а n — кількість сторін. ага.
Прямокутний трикутник \frac{ab}{2}\,\! a і b — катети трикутника.
Довільний трикутник \frac{1}{2}ah\,\! a — сторона трикутника, h — висота, проведена до цієї сторони.
\frac{1}{2}ab \sin \alpha\,\! a, b — будь-які дві сторони, \alpha — кут між ними.
\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\,\! (формула Герона) a, b, c — сторони трикутника, p — півпериметр  \left(p = \frac{a+b+c}{2}\right).
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} у випадку обходу вершин трикутника за годинниковою стрілкою отримаємо додатний результат, інакше від'ємний.
Прямокутник ab \,\! a та b — довжини сторін прямокутника (його довжина та ширина).
Паралелограм ah\,\! a та h — довжина сторони та опущеної на неї висоти відповідно.
ab \sin \alpha\,\! a і b — сусідні сторони паралелограма, \alpha — кут між ними.
Ромб \frac{1}{2}cd c та d — довжини діагоналей ромба.
Еліпс \pi ab \,\! a та b — довжини малої та великої півосей відповідно.
Трапеція \frac{1}{2}(a+b)h \,\! a та b — паралельні сторони а h — відстань між ними (висота трапеції).

Формули для обчислення площі поверхні тіл у просторі[ред.ред. код]

Тіло Рівняння Змінні
Повна площа поверхні циліндра 2\pi r^2+2\pi r h \,\! r та h — радіус та висота відповідно.
Площа бічної поверхні циліндра 2 \pi r h \,\! r та h — радіус та висота відповідно.
Повна площа конуса \pi r (l + r) \,\! r та l — радіус та висота бічної поверхні відповідно.
Площа бічної поверхні конуса \pi r l \,\! r та l — радіус та твірна бічної поверхні відповідно.
Площа поверхні сфери (кулі) 4\pi r^2\,\! або \pi d^2\,\! r та d радіус та діаметр, відповідно.

Наведені вище формули призначені для обчислення площі багатьох фігур.

Формули для обчислення площі круга, його частин, описаних і вписаних у коло фігур[ред.ред. код]

Фігура Рівняння Змінні
Круг \pi r^2 \,\! або \frac{\pi d^2}{4} \,\! r — радіус, а d — діаметр круга.
Сектор круга \frac{\alpha r^2}{2}\,\! r — радіус круга, \alpha — центральний кут сектора (в радіанах).
Сегмент круга \frac{r^2}{2}(\alpha - \sin \alpha)\,\! r — радіус круга, \alpha — центральний кут сегмента (в радіанах).
Трикутник, вписаний у коло \frac{abc}{4R} a, b, c — сторони трикутника, R — радіус описаного кола.
Довільний багатокутник, описаний навколо кола \frac{1}{2}Pr\,\! r — радіус кола, вписаного в багатокутник, а P — периметр багатокутника.

Одиниці виміру[ред.ред. код]

Метричні одиниці[ред.ред. код]

Британські/американські одиниці[ред.ред. код]

Стародавні одиниці[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. Мышкис А. Д. (1973). Лекции по Высшей Математике. 

Посилання[ред.ред. код]

  • Рохлин В. А. Площадь и объём. Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия.