Чотирикутник

Чотирикутник — це частина площини, обмежена простою замкненою ламаною, яка містить чотири (5) ланок. Вона складається з чотирьох (4) вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

Зображення 1. Приклад чотирикутника

У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D — не сусідні вершини).

Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром.

Площа

Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними: $S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\theta$, де $d_1, d_2$ — діагоналі та Θ — кут між ними.

Або $16S^2=4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2$, де e, f — довжини діагоналей.

Або $S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{\angle A+\angle C}{2}$, де p — півпериметр. З цієї формули для вписаних чотирикутників випливає формула Брахмагупти.

Якщо чотирикутник є і вписаним, і описаним, то $S=\sqrt{abcd}$.

Теореми

Добутки площ трикутників, утворених частинами діагоналей від їх країв до їх перетину і протилежними сторонами чотирикутника, рівні.

Див. також

• Трапеція
• Прямокутник
• Паралелограм
• Ромб
• Квадрат
• Гармонійний чотирикутник
• Вписаний чотирикутник
• Описаний чотирикутник