Правильний многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, поліго́н) — багатокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості[ред.ред. код]

Координати[ред.ред. код]

Нехай x_0 та y_0 — координати центра, а R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола, {\phi}_0 — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного багатокутника визначаються формулами

x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),
y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),

де i = 0, \dots, n - 1.

Розміри[ред.ред. код]

Нехай R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

r = R \cos \frac{\pi}{n},

а довжина сторони багатокутника рівна

t = 2 R \sin \frac{\pi}{n}.

Площа[ред.ред. код]

Площа правильного багатокутника з числом сторін n та довжиною сторони t обчислюється за формулою

S = \frac{n}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{n}.

Площа правильного багатокутника з числом сторін n, вписаного в коло радіусу R обчислюється за формулою

S = \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}.

Площа правильного багатокутника з числом сторін n, описаного навколо кола радіусу r обчислюється за формулою

S = n r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n} (площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний багатокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону багатокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто

S=\frac{1}{2}bh,

де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного багатокутника обчислюється за формулою:

S=\frac{1}{2}lan=\frac{1}{2}pa

де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.

Обернені формули:

p=\frac{2S}{a}
a=\frac{2S}{p}

Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного багатокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування[ред.ред. код]

Правильними багатокутниками за визначенням є грані правильних багатогранників.

Древньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні багатокутники для обчислення числа \pi. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього багатокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]

Історія[ред.ред. код]

Побудова правильного багатокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий багатокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних багатокутників у Книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій можливості побудувати багатокутник: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», древньогрецькі математики вміли будувати багатокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований багатокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати багатокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і багатокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні математики вміли будувати правильні багатокутники з  2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2} сторонами, де m — ціле невід'ємне число, {p_1}, {p_2} — числа 3 та 5, а {k_1}, {k_2} приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного багатокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний багатокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює 2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}, де {k_0} — ціле невід'ємне число, {k_1},{k_2}\cdots{k_s} приймають значення 0 або 1, а \mathrm{p_j} — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено П'єром Лораном Ванцелем 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних багатокутників поставило знаходження побудов правильного 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером 1825 року, другу — Фрідріхом Юліусом Рішело 1832 року, третю — Іоганом Густавом Гермесом 1894 року.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Жуков А. В. Про число \pi. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.