Правильний многокутник

Правильний семикутник

Пра́вильний многоку́тник — це многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості

Координати

Нехай $x_0$ та $y_0$ — координати центра, а $R$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, ${\phi}_0$ — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

$x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$,

$y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$,

де $i = 0 \dots n - 1$.

Розміри

Нехай $R$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, тоді радіус вписаного кола дорівнює

$r = R \cos \frac{\pi}{n}$,

а довжина сторони многокутника рівна

$t = 2 R \sin \frac{\pi}{n}$.

Площа

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$ та довжиною сторони $t$ обчислюється за формулою

$S = \frac{n}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{n}$.

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$, вписаного в коло радіусу $R$ обчислюється за формулою

$S = \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}$.

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$, описаного навколо кола радіусу $r$ обчислюється за формулою

$S = n r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}$ (площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобедренних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто $S=\frac{1}{2}bh$ де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою: $''S''=\frac{1}{2}lan=\frac{1}{2}pa$ де l — сторона, a— апофема, n — кількість сторін, p — периметр.
Обернені формули: $p=\frac{2S}{a}$
$a=\frac{2S}{p}$
Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для рівностороннього трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Древньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа $\pi$. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.

Історія

Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2^m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник з числом сторін 2^{m — 1}: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні математики вміли будувати правильні многокутники з $2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}$ сторонами, де m — ціле невід'ємне число, ${p_1}, {p_2}$ — числа 3 та 5, а ${k_1}, {k_2}$ приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює $2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}$, де ${k_0}$ — ціле невід'ємне число, ${k_1},{k_2}\cdots{k_s}$ приймають значення 0 або 1, а $\mathrm{p_j}$ — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном Ванцелем у 1836 році.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом Гермесом у 1894 році.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.

Див. також

• Многокутник