Правильний многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пра́вильний многоку́тник — це многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості[ред.ред. код]

Координати[ред.ред. код]

Нехай x_0 та y_0 — координати центра, а R — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, {\phi}_0 — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),
y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),

де i = 0 \dots n - 1.

Розміри[ред.ред. код]

Нехай R — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, тоді радіус вписаного кола дорівнює

r = R \cos \frac{\pi}{n},

а довжина сторони многокутника рівна

t = 2 R \sin \frac{\pi}{n}.

Площа[ред.ред. код]

Площа правильного многокутника з числом сторін n та довжиною сторони t обчислюється за формулою

S = \frac{n}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{n}.

Площа правильного многокутника з числом сторін n, вписаного в коло радіусу R обчислюється за формулою

S = \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}.

Площа правильного многокутника з числом сторін n, описаного навколо кола радіусу r обчислюється за формулою

S = n r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n} (площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобедренних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висотуапофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто S=\frac{1}{2}bh де Sплоща, bоснова, hвисота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою: ''S''=\frac{1}{2}lan=\frac{1}{2}pa де l — сторона, aапофема, n — кількість сторін, pпериметр.
Обернені формули: p=\frac{2S}{a}
a=\frac{2S}{p}
Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для рівностороннього трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування[ред.ред. код]

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Древньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа \pi. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]

Історія[ред.ред. код]

Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні математики вміли будувати правильні многокутники з  2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2} сторонами, де m — ціле невід'ємне число, {p_1}, {p_2} — числа 3 та 5, а {k_1}, {k_2} приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює 2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}, де {k_0} — ціле невід'ємне число, {k_1},{k_2}\cdots{k_s} приймають значення 0 або 1, а \mathrm{p_j} — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном Ванцелем у 1836 році.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом Гермесом у 1894 році.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. В. Жуков. Про число \pi. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.

Посилання[ред.ред. код]