Обернений образ пучка

Обернений образ пучка — коваріантна конструкція у теорії пучків, що в певному значенні є оберненою до побудови прямого образа пучка.

Означення

Нехай дано пучок ${\mathcal {G}}$ на $Y$ і потрібно перенести ${\mathcal {G}}$ на $X$, використовуючи неперервне відображення $f\colon X\to Y$ подібно до того, як будується прямий образ пучка.

Якщо спробувати імітувати визначення прямого образу взявши

$f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),$

для кожної відкритої множини $U$ в $X$, то відразу виникає проблема: $f(U)$ не обов'язково є відкритою множиною. Найкраще, що можна зробити — наблизити його відкритими множинами, і навіть в цьому випадку одержується передпучок, а не пучок. За означенням $f^{-1}{\mathcal {G}}$ є пучком асоційованим із передпучком

$U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).$

Тут $U$ — відкрита підмножина $X$ і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини $V$ простору $Y$, що містять $f(U)$.

Наприклад, якщо $f$ — вкладення точки $y$ в $Y$, то $f^{-1}({\mathcal {F}})$ — росток ${\mathcal {F}}$ в цій точці.

Існування відображень обмеження, як і функторіальність оберненого образа, випливають із універсальної властивості індуктивних границь.

Альтернативна побудова

Еквівалентно, обернений образ можна побудувати за допомогою етальних (пучкових) просторів пучків. В тих же позначеннях, що і вище, нехай LG позначає етальний простір пучка G, тобто диз'юнктне об'єднання ростків $\bigsqcup _{y\in Y}{\mathcal {G}}_{y}$із топологією для якої базою є підмножини виду $s_{y},\ s\in {\mathcal {G}}(V),$ де $V\subseteq Y$— відкрита підмножина у $Y.$Тоді проєкція $p:L{\mathcal {G}}\to Y:{\mathcal {G}}_{y}\ni a\to y$ є локальним гомеоморфізмом.

Нехай тепер $E=\{(e,x)\in L{\mathcal {G}}\times X:p(e)=f(x)\}$із топологією індукованою топологією прямого добутку. Тоді проєкція $p':E\to X$ є локальним гомеоморфізмом і E є етальним простором для X. Асоційований із ним пучок і є оберненим образом $f^{-1}{\mathcal {G}}.$

Більш конкретно перетинами на відкритій підмножині $U\subseteq X$є неперервні відображення $\sigma :U\to E$ для яких $p'\circ \sigma =\operatorname {Id} _{U}.$Еквівалентно, це такі відображення $\tau :U\to E$для яких $p\circ \tau =f|_{U}.$

Обернений образ пучків модулів

Коли розглядаються морфізм локально окільцьованих просторів $f\colon X\to Y$, наприклад схем в алгебричній геометрії , часто працюють з пучками ${\mathcal {O}}_{Y}$-модулів, де ${\mathcal {O}}_{Y}$ — структурний пучок $Y$. Тоді функтор $f^{-1}$ введений вище не підходить, оскільки результат його застосування, взагалі кажучи, не є пучком ${\mathcal {O}}_{X}$-модулів. Щоб виправити це, в цій ситуації для пучка ${\mathcal {O}}_{Y}$-модулів ${\mathcal {G}}$ його обернений образ задається як

$f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}$.

Властивості

• Для точки $x\in X$ , маємо $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}$.
• $f^{-1}$ — точний функтор.
• $f^{*}$, взагалі кажучи, тільки точний справа. Якщо $f^{*}$ точний, f називається плоским.
• $f^{-1}$ є спряженим зліва до функтора прямого образа $f_{\ast }$, тобто існує натуральний ізоморфізм

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})$.

Проте морфізми ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}$ і $f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ майже ніколи не є ізоморфізмами. Наприклад, якщо $i\colon Z\to Y$ позначає вкладення замкнутої підмножини, росток пучка $i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}$ в точці $y\in Y$ є ізоморфним до ${\mathcal {G}}_{y}$ якщо $y$ належить $Z$ і є рівним $0$ в іншому випадку.

• Подібне до попереднього пункту твердження є справедливим для пучків модулів, якщо замінити $i^{-1}$ на $i^{*}$.

Див. також

• Індуктивна границя
• Прямий образ пучка
• Пучок (математика)

Література

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 20, Cambridge University Press, MR 0404390