Функтор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене із структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час[Коли?] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

Визначення[ред.ред. код]

Одномісним коваріантним функтором \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D} з категорії \mathcal{C} у категорію \mathcal{D}, називається пара відображень \mathcal{F}_{Ob}\colon Ob\,\mathcal{C} \to Ob\,\mathcal{D} \mathcal{F}_\mathrm{Hom}\colon\mathrm{Hom}\,\mathcal{C} \to \mathrm{Hom}\,\mathcal{D} що позначаються звичайно однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

  1. F(id_A) = id_{F(A)}\, для кожного A \in Ob\,\mathcal{D};
  2. F(g\circ f) = F(g)\circ F(f) для будь-яких морфізмів f  \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B) і  g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C).

Функтор з категорії \mathcal{C}^*, двоїстої категорії \mathcal{C}, у категорію \mathcal{D} називається одномісним контраваріантним функтором з \mathcal{C} у \mathcal{D}. Таким чином для контраваріантного функтора \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D} як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) F(g\circ f) = F(f)\circ F(g) для будь-яких морфізмів f  \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C).

n-містним функтором з категорій \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3, ... , \mathcal{C}_n в категорію \mathcal{D}, коваріантним по аргументах 1 < i_1 < i_2 < ... < i_k < n і контраваріантним по решті аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій \prod_{i=1}^n \bar \mathcal{C}_i у категорію \mathcal{D}, де \bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i при i  = i_1,i_2 ,... ,i_k і \bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i^* при інших i. Двомісні функтори, коваріантні по обох аргументах, називаються біфункторами.

Приклади[ред.ред. код]

  1. Функтор \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}, що відображає кожен об'єкт категорії \mathcal{C} в деякий фіксований об'єкт X категорії  \mathcal{D}, а кожен морфізм категорії \mathcal{C} в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
  2. Тотожне відображення довільної категорії \mathcal{C} в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається Id_\mathcal{C}.
  3. Нехай \mathcal{C} — довільна категорія \mathcal{O} — категорія множин, А — фіксований об'єкт з \mathcal{C}. Зіставлення кожному X \in Ob\,\mathcal{C} множини \mathrm{Hom}^A(X) = \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,X) і кожному морфізму F \colon X \to Y відображення \mathrm{Hom}^A_f \colon \mathrm{Hom}^A(X) \to \mathrm{Hom}^A(Y), де \mathrm{Hom}^A_f(g) = gf для кожного g \in \mathrm{Hom}^A(X), є функтором з \mathcal{C} у \mathcal{O}. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з \mathcal{C} у \mathcal{O} з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з \mathcal{C} у \mathcal{O} з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються \mathrm{Hom}^A і \mathrm{Hom}_A відповідно. Якщо \mathcal{C} — категорія векторних просторів над полем K, то функтор \mathrm{Hom}_K\, задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е*. У категорії топологічних абелевих груп функтор \mathrm{Hom}_Q\,, де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний по всіх аргументах, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D} визначає відображення кожної множини \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B) в множину \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(F(A),F(B) зіставляючи морфізму f \colon A \to B морфізм F(f) \colon F(A) \to F(B). функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.