Функтор

Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене із структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час^[Коли?] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

Визначення

Одномісним коваріантним функтором $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ з категорії $\mathcal{C}$ у категорію $\mathcal{D}$, називається пара відображень $\mathcal{F}_{Ob}\colon Ob\,\mathcal{C} \to Ob\,\mathcal{D}$ $\mathcal{F}_\mathrm{Hom}\colon\mathrm{Hom}\,\mathcal{C} \to \mathrm{Hom}\,\mathcal{D}$ що позначаються звичайно однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

1. $F(id_A) = id_{F(A)}\,$ для кожного $A \in Ob\,\mathcal{D}$;
2. $F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)$ для будь-яких морфізмів $f \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)$ і $g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C)$.

Функтор з категорії $\mathcal{C}^*$, двоїстої категорії $\mathcal{C}$, у категорію $\mathcal{D}$ називається одномісним контраваріантним функтором з $\mathcal{C}$ у $\mathcal{D}$. Таким чином для контраваріантного функтора $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) $F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)$ для будь-яких морфізмів $f \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)$$g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C)$.

n-містним функтором з категорій $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3, ... , \mathcal{C}_n$ в категорію $\mathcal{D}$, коваріантним по аргументах $1 < i_1 < i_2 < ... < i_k < n$ і контраваріантним по решті аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій $\prod_{i=1}^n \bar \mathcal{C}_i$ у категорію $\mathcal{D}$, де $\bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i$ при $i = i_1,i_2 ,... ,i_k$ і $\bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i^*$ при інших i. Двомісні функтори, коваріантні по обох аргументах, називаються біфункторами.

Приклади

1. Функтор $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, що відображає кожен об'єкт категорії $\mathcal{C}$ в деякий фіксований об'єкт X категорії $\mathcal{D}$, а кожен морфізм категорії $\mathcal{C}$ в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
2. Тотожне відображення довільної категорії $\mathcal{C}$ в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається $Id_\mathcal{C}$.
3. Нехай $\mathcal{C}$ — довільна категорія $\mathcal{O}$ — категорія множин, А — фіксований об'єкт з $\mathcal{C}$. Зіставлення кожному $X \in Ob\,\mathcal{C}$ множини $\mathrm{Hom}^A(X) = \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,X)$ і кожному морфізму $F \colon X \to Y$ відображення $\mathrm{Hom}^A_f \colon \mathrm{Hom}^A(X) \to \mathrm{Hom}^A(Y)$, де $\mathrm{Hom}^A_f(g) = gf$ для кожного $g \in \mathrm{Hom}^A(X)$, є функтором з $\mathcal{C}$ у $\mathcal{O}$. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з $\mathcal{C}$ у $\mathcal{O}$ з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з $\mathcal{C}$ у $\mathcal{O}$ з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються $\mathrm{Hom}^A$ і $\mathrm{Hom}_A$ відповідно. Якщо $\mathcal{C}$ — категорія векторних просторів над полем K, то функтор $\mathrm{Hom}_K\,$ задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е^*. У категорії топологічних абелевих груп функтор $\mathrm{Hom}_Q\,$, де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний по всіх аргументах, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ визначає відображення кожної множини $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)$ в множину $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(F(A),F(B)$ зіставляючи морфізму $f \colon A \to B$ морфізм $F(f) \colon F(A) \to F(B)$. функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.