Петля (топологія)

Дві петлі a і b на торі.

Петля в топологічному просторі X— це неперервне відображення f одиничного відрізка I = [0,1] в X, таке що f(0) = f(1). Іншими словами, це шлях, початкова точка якого збігається з кінцевою.

Петлю можна також розглядати як неперервне відображення f одиничного кола S¹ в X, оскільки S¹ можна вважати фактор-простором одиничного відрізка I при ототожненні 0 з 1.

Нехай X — топологічний простір, x₀ ∈X. Неперервне відображення l: S¹ → X, таке що l(1) = x₀, називається круговою петлею в x₀. Кожній круговій петлі в точці x₀ можна зіставити петлю простору X у тій самій точці, взявши композицію l з відображенням I →S¹, заданим формулою t →e^2πit. У такий спосіб з кругової петлі може бути отримана будь-яка петля.

Кругові петлі називаються гомотопними (або еквівалентними), якщо вони {1}-гомотопні (тобто, якщо гомотопія між ними є пов'язаною в точці 1 ∈ S¹). Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами петель.

Непорожній топологічний простір називається однозв'язним, якщо він лінійно зв'язний і будь-яка петля в ньому гомотопна постійній петлі.

Множина гомотопічних класів петель у точці утворює групу з операцією композиції шляхів. Ця група називається фундаментальною групою простору X у позначеній точці x₀.

Множина всіх петель в X утворює простір, який називається простором петель простору X.

Див. також

• Вільна петля
• Група петель
• Простір петель
• Алгебра петель
• Фундаментальна група
• Квазігруппа

Література

• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066.
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0.