Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Частина поверхні Еннепера
У диференціальній геометрії та алгебраїчній геометрії поверхня Еннепера є самоперетинна поверхня, що задається параметрично :
x
=
1
3
u
(
1
−
1
3
u
2
+
v
2
)
,
y
=
1
3
v
(
1
−
1
3
v
2
+
u
2
)
,
z
=
1
3
(
u
2
−
v
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}
Її описав Альфред Еннепер у 1864 році у досліджуючи теорією
мінімальних поверхонь [1] [2] [3] [4] .
Параметризація Вейєрштрасса–Еннепера дуже проста,
f
(
z
)
=
1
,
g
(
z
)
=
z
{\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}
, і дійснозначну параметричну форму можна легко вивести з неї. Поверхня сполучена сама з собою.
Методи імпліцизації алгебраїчної геометрії можна використати, щоб з’ясувати, що точки на поверхні Еннепера, наведені вище, задовольняють поліноміальне рівняння 9 степеня
64
z
9
−
128
z
7
+
64
z
5
−
702
x
2
y
2
z
3
−
18
x
2
y
2
z
+
144
(
y
2
z
6
−
x
2
z
6
)
+
162
(
y
4
z
2
−
x
4
z
2
)
+
27
(
y
6
−
x
6
)
+
9
(
x
4
z
+
y
4
z
)
+
48
(
x
2
z
3
+
y
2
z
3
)
−
432
(
x
2
z
5
+
y
2
z
5
)
+
81
(
x
4
y
2
−
x
2
y
4
)
+
240
(
y
2
z
4
−
x
2
z
4
)
−
135
(
x
4
z
3
+
y
4
z
3
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}
Подвійно,
дотична площина в точці із заданими параметрами є
a
+
b
x
+
c
y
+
d
z
=
0
,
{\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }
де
a
=
−
(
u
2
−
v
2
)
(
1
+
1
3
u
2
+
1
3
v
2
)
,
b
=
6
u
,
c
=
6
v
,
d
=
−
3
(
1
−
u
2
−
v
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}
Його коефіцієнти задовольняють неявне рівняння полінома 6 степеня
162
a
2
b
2
c
2
+
6
b
2
c
2
d
2
−
4
(
b
6
+
c
6
)
+
54
(
a
b
4
d
−
a
c
4
d
)
+
81
(
a
2
b
4
+
a
2
c
4
)
+
4
(
b
4
c
2
+
b
2
c
4
)
−
3
(
b
4
d
2
+
c
4
d
2
)
+
36
(
a
b
2
d
3
−
a
c
2
d
3
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}
Кривизна
Якобіана ,
Гауса та середня кривина:
J
=
1
81
(
1
+
u
2
+
v
2
)
4
,
K
=
−
4
9
1
J
,
H
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}
Загальна кривина становить
−
4
π
{\displaystyle -4\pi }
. Оссерман довів, що повна мінімальна поверхня в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
з повним викривленням
−
4
π
{\displaystyle -4\pi }
є або
катеноїдом , або поверхнею Еннепера
[5] .
Інша властивість полягає в тому, що всі бікубічні мінімальні поверхні Безьє є частинами поверхні з точністю до афінного перетворення [6] .
Поврхню можна узагальнити на обертальні симетрії вищого порядку за допомогою параметризації Вейєрштрасса–Еннепера
f
(
z
)
=
1
,
g
(
z
)
=
z
k
{\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}
для цілого k>1[3] . Також можна узагальнити поверхню на вищі виміри; відомо, що еннеперподібні поверхні існують в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
для n до 7[7] .
↑ J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
↑ Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
↑ а б Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1 .
↑ Weisstein, Eric W. Enneper's Minimal Surface (англ.) на сайті Wolfram MathWorld .
↑ R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
↑ Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
↑ Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569