Поліноми Кравчука

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму: \sum\limits^N_{x=0}k^{(p)}_n(x)k^{(p)}_m(x) \sigma(x)= d_n^2,\delta_{m,n}.

Тут \sigma(x)=\binom{N}{x} p^x q^{N-x} — вагова функція, d_n=\sqrt{\binom{N}{n}(pq)^n} — квадратична норма, 0<p<1, \quad 0<q<1, \quad p+q=1. Для p=q=1\left/2\right. вагова функція з точністю до постійного множника 1\left/ 2^N\right. зводиться до біноміального коефіцієнта.

Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд (n+1)k^{(p)}_{n+1}(x)+pq\left(N-n+1\right)k^{(p)}_{n-1}(x)= \bigl[ x+n(p-q)-pN
\bigr]k^{(p)}_n (x).

Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду

f_{n+1}\frac{k^{(p)}_{n+1}(x)}{d_{n+1}}+f_{n}\frac{k^{(p)}_{n-1}(x)}{d_{n-1}}= \left( rx+\varepsilon n+\Delta \right)\frac{k^{(p)}_n (x)}{d_n},

де

f_n=\sqrt{\frac{n(N+1-n)}{N}},\quad
 r=\frac{1}{\sqrt{pqN}},\quad \varepsilon=r(p-q),\quad  \Delta=-rpN.

Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:

k^{(p)}_n(x)=(-1)^n \binom{N}{n} p^n {}_2 F_1(-n,-x;-N;1/p)

В границі при N\to\infty поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:

\lim\limits_{N\to\infty} \left(2/Npq\right)^{n/2}n! ;k_n^{(p)} \left( Np +
\sqrt{2Npq},x \right) = H_n(x)

Перші чотири поліноми для найпростішого випадку p=q=1/2:

  • \mathcal{K}_0(x, N) = 1
  • \mathcal{K}_1(x, N) = -2x + N
  • \mathcal{K}_2(x, N) = 2x^2 - 2Nx + {N\choose 2}
  • \mathcal{K}_3(x, N) = -\frac{4}{3}x^3 + 2Nx^2 - \left(N^2 - N + \frac{2}{3}\right)x + {N \choose 3}

Джерела[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]