Поліноми Ерміта

Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті	Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула	$H_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-\frac{x^2}{2}}\right )$
Диференціальне рівняння	$\ y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0$
Визначені на	$\ [-\infty,+\infty]$
Вага	$e^{-x^2/2}\,\!$
Норма	$\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}$
Примітки	В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як $H^*_n(x)=(-1)^n e^{{x^2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-{x^2}}\right )$ $H^*_n(x)=2^{\frac{n}{2}}H_n(\sqrt{2}x)$

Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми що використовуються в теорії ймовірності, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів їх в 1864 році.

Визначення

Графіки поліномів Ерміта порядку $n=0,1,...,5$

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів $H_n(x)$,$n=0,1,...$, що задовільняють співвідношенню:
$e^{tx-\frac{t^2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x)\frac{t^n}{n!}$,
з якого випливає
$H_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-\frac{x^2}{2}}\right )$.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
$H^*_n(x)=(-1)^n e^{{x^2}}\frac{d^n}{dx^n}\left ( e^{-{x^2}}\right )$.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірностними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

$H^*_n(x)=2^{\frac{n}{2}}H_n(\sqrt{2}x)$.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірностні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=x\,$

$H_2(x)=x^2-1\,$

$H_3(x)=x^3-3x\,$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3\,$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,$

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд $H_n(x)=\sum_{j=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^j}{2^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}x^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}-\ldots,$

Властивості

Поліном $H_n(x)$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число $n$:

$H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~ n=0,1,2, \ldots$.

При $x=0$ мають місце такі співвідношення:

$H_{2n}(0)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots$.

Рівняння $H_n(x)=0$ має $n$ дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини $\sqrt{n(n-1)/2}$. Корені полінома $H_n(x)=0$ чергуються з коренями полінома $H_{n+1}(x)=0$.

Поліном $H_n(x)$ можна представити у вигляді визначника матриці $n \times n$:

$H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right |$

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~.$

Частковими випадками такої формули є такі:

• $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$, $x_1=x_2=\cdots =x_n$. Тоді

$n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)$.

• $n=2$, $a_1=a_2=1$, $x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y$. Тоді

$2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_r(x)H_s(x)$.

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна $k$-ого порядку від полінома Ерміта $H_n(x)$, $n\ge k$ також є поліномом Ерміта:
$\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,$
звідки випливає співвідошення для першої похідної
$H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=nH_{n-1}(x)$
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

$H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2$

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі $]-\infty,+\infty[$ з вагою $e^{-x^2/2}\,\!$:

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}}$,

де $\delta_{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого $p$ справедливий запис

$\frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x).$

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, $f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x)$, що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

$A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k}$

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

${}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)},$

де ${}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x)$ — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, $\Gamma(x)$ — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент $f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},$ можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.$

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

$\cosh {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \sinh {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

$\cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x),$

Повнота

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

$\sum_{i=0}^n \frac{H_i(x) H_i(y)}{i!2^i}= \frac{1}{n!2^{n+1}}\frac{H_n(y)H_{n+1}(x)- H_n(x)H_{n+1}(y)}{x-y}.$

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій

$\sum_{n=0}^\infty \psi_n (x) \psi_n (y)= \delta(x-y),$

де δ - дельта-функція Дірака, (ψ_n) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

$E(x, y; u) := \sum_{n=0}^\infty u^n \, \psi_n (x) \, \psi_n (y) = \frac 1 {\sqrt{\pi (1 - u^2)}} \, \mathrm{exp} \left( - \frac{1 - u}{1 + u} \, \frac{(x + y)^2}{4} \,-\, \frac{1 + u}{1 - u} \, \frac{(x - y)^2}{4}\right),$

яку можна еквівалентно записати так

$\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)H_n(y)}{n!}\left(\frac u 2\right)^n= \frac 1 {\sqrt{1-u^2}} \mathrm{e}^{\frac{2u}{1+u}x y-\frac{u^2}{1-u^2}(x-y)^2}.$

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R² яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

$\left\langle \left( \sum_{n=0}^\infty u^n \langle f, \psi_n \rangle \psi_n\right), g \right\rangle = \int\!\!\int E(x, y; u) f(x) \overline{g(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \rightarrow \int f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d} x = \langle f, g \rangle,$

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L²(R), тобто

$f = \sum_{n=0}^\infty \langle f, \psi_n \rangle \psi_n.$

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

$\rho \sqrt{\pi} \, \mathrm{e}^{-\rho^2 x^2 / 4} = \int \mathrm{e}^{isx- s^2/\rho^2}\, \mathrm{d}s, \quad \rho > 0.$

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

$H_n(x) = (-1)^{n} \mathrm{e}^{x^2} \frac {\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \Bigl( \frac {1}{2\sqrt{\pi}} \int \mathrm{e}^{isx - s^2/4}\, \mathrm{d}s \Bigr) = (-1)^n \mathrm{e}^{x^2}\frac {1}{2\sqrt{\pi}}\int (is)^n \, \mathrm{e}^{isx- s^2/4}\, \mathrm{d}s.$

З цим представленням для H_n(x) і H_n(y), можна бачити що

$\begin{align}E(x, y; u) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{2^n n! \sqrt{\pi}} \, H_n(x) H_n(y) \, \mathrm{e}^{ - (x^2+y^2)/2} \\ & =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2}}{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \Bigl( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n! } (-ust)^n \Bigr) \, \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t \\ & =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2} }{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \mathrm{e}^{-ust/2} \, \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t,\end{align}$

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

$s = \frac{\sigma + \tau}{\sqrt 2},\qquad\qquad t = \frac{\sigma - \tau}{\sqrt 2}.$

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта $H_n(x)$ є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

$y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0\,$

Якщо $n$ є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

$y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x)\,$,

де $A,B$ — довільні сталі, а функції $h_n(x)$ називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій $e^{x^2/2}$ та $\int_0^x e^{z^2/2}dz$.

Представлення

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

$H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz$

де $\Gamma$ — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy$.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

• Зв'язок з функцією Куммера:

  $H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right )$

• Зв'язок з поліномами Лаґерра:

  $H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2)\,\!$

Застосування

• В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

$\left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x)$.

Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням $\lambda_n=2n+1$. Нормовані на одиницю вони записуються як

$\psi_n(x) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots~$.

Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта $H_n^*(x)$.

• Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності $u_t-u_{xx}=0$ на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної фунції $u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t}$. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по $\alpha$:

$e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t)$,

то функції $P_n(x,t)$, що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовільняють початковій умові $P_n(x,t=0)=x^n$, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

$P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy$.

Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

• В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих рядів Еджворта, які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її кумулянти.

Література

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
• Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press. 
• Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). «IX». Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62–70. 

Зовнішні посилання

• Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial (англ. ) на сайті MathWorld.
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews