Поліноми Чебишова

Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті	Пафнутія Чебишова в 1854 році
Формула	:$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2}$ $U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}$
Диференціальне рівняння	:$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!$ i $(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!$
Визначені на	$\ [-1,1]$
Вага	$\frac1\sqrt{1-x^2}$ для поліномів першого роду $\sqrt{1-x^2}$ для поліномів другого роду
Норма	$\begin{cases} \pi &: n=0\\ \pi/2 &: n\ne 0 \end{cases}$ для поліномів першого роду $\pi/2 \;$ для поліномів другого роду
Примітки	Нулі полінома Чебишева є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів $\{ T_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$ і $\{ U_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$, названі на честь Пафнутія Чебишова.

Назва поліноми Чебишева устоялася в математиці, попри те, що прізвище математика, на честь якого вони названі, читається з /о/: Чебишов.

Поліном Чебишева першого роду $T_n(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^{n-1}$, що має найменше відхилення від нуля серед таких поліномів. .

Поліном Чебишева другого роду $U_n(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^n$, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку $[-1,1]$ приймає найменше можливе значення.

Рекурентні визначення

Поліноми Чебишева першого роду $T_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

Поліноми Чебишева другого роду $U_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!$

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!$

Явні формули

Поліноми Чебишева є розвязками рівняння Пелля:

$T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1$

в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:

$T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.$

З останньої рівності також випливають формули:

$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};$

$U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.$

Тригонометричні визначення

Поліноми Чебишева першого роду $T_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння:

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,$

або,

$T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!$

Поліноми Чебишева другого роду $U_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння:

$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$

Диференційні рівняння Чебишева

Поліноми Чебишева є розвязками диференційних рівнянь:

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!$

і

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!$

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

Перші поліноми Чебишева першого роду

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

Перші поліноми Чебишева другого роду

Поліноми Чебишева другого роду на відрізку −1 < x < 1: U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅.

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

$U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,$

$U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,$

$U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,$

Властивості

Поліноми Чебишева мають такі властивості:

• Ортогональність по відношенню до відповідного скалярного добутку (з вагою $\frac1\sqrt{1-x^2}$ для поліномів першого роду і $\sqrt{1-x^2}$ для поліномів другого роду).

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}$

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m, \\ \pi/2 &: n=m. \end{cases}$

• Серед усіх поліномів значення яких на відрізку $[-1,1]$ не перевищує за модулем 1, поліном Чебишева має:
  • найбільший старший коефіцієнт
  • найбільше значення у довільній точці $a \geq 1$
• Нулі полінома Чебишева є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також

• Поліноми Фабера

• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения