Поліноми Чебишова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2}
U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}
Диференціальне рівняння (1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

i

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!
Визначені на \ [-1,1]
Вага \frac1\sqrt{1-x^2} для поліномів першого роду

\sqrt{1-x^2} для поліномів другого роду
Норма \begin{cases}
\pi &: n=0\\
\pi/2 &: n\ne 0
\end{cases}
для поліномів першого роду
\pi/2 \; для поліномів другого роду
Примітки Нулі полінома Чебишева є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів \{ T_n(x)\}_{n=0}^{\infty} і \{ U_n(x)\}_{n=0}^{\infty}, названі на честь Пафнутія Чебишова.

Назва поліноми Чебишева устоялася в математиці, попри те, що прізвище математика, на честь якого вони названі, читається з /о/: Чебишов.

Поліном Чебишева першого роду T_n(x) є поліномом степеня n зі старшим коефіцієнтом 2^{n-1}, що має найменше відхилення від нуля серед таких поліномів.

Поліном Чебишева другого роду U_n(x) є поліномом степеня n зі старшим коефіцієнтом 2^n, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку [-1,1] приймає найменше можливе значення.

Рекурентні визначення[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева першого роду T_n(x) можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

Поліноми Чебишева другого роду U_n(x) можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

Явні формули[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева є розвязками рівняння Пелля:

T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1

в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:

T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.

З останньої рівності також випливають формули:

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};
U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.

Тригонометричні визначення[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева першого роду T_n(x) можуть бути визначені за допомогою рівняння:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,

або,

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

Поліноми Чебишева другого роду U_n(x) можуть бути визначені за допомогою рівняння:

 U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.


Диференційні рівняння Чебишева[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева є розвязками диференційних рівнянь:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

і

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

Перші поліноми Чебишева першого роду[ред.ред. код]

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,

Перші поліноми Чебишева другого роду[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева другого роду на відрізку −1 < x < 1: U0, U1, U2, U3, U4 and U5.
 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

Властивості[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева мають такі властивості:

  • Ортогональність по відношенню до відповідного скалярного добутку (з вагою \frac1\sqrt{1-x^2} для поліномів першого роду і \sqrt{1-x^2} для поліномів другого роду).
\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\begin{cases}
0 &: n\ne m \\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{cases}
\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m, \\
\pi/2 &: n=m.
\end{cases}
  • Серед усіх поліномів значення яких на відрізку [-1,1] не перевищує за модулем 1, поліном Чебишева має:
    • найбільший старший коефіцієнт
    • найбільше значення у довільній точці a \geq 1
  • Нулі полінома Чебишева є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також[ред.ред. код]